数学 cos的转化
第一步：欧拉公式是怎么来的？
欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 并不是凭空变出来的，它的核心思想是将指数函数的定义域从实数扩展到复数。
我们知道，实数域下的指数函数 $e^x$ 有一个非常优美的幂级数展开（即泰勒级数）： $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
数学家欧拉做了一个大胆的假设：这个美妙的公式在复数域下是否也成立？ 于是，他将虚数单位 $i$ （满足 $i^2 = -1$）代入公式中的 $x$，用 $ix$ 来替换 $x$：
$$\begin{align*} e^{ix} &= 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \cdots \\ &= 1 + ix + \frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \cdots \\ \end{align*}$$
接下来，我们计算 $i$ 的幂次，寻找规律：
- $i^2 = -1$
- $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
- $i^4 = i^3 \cdot i = -i \cdot i = -(-1) = 1$
- $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$ (之后开始循环：$i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, ...$)
把这个规律代入上面的级数：
$$\begin{align*} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \end{align*}$$
现在，我们把所有不含 $i$ 的实部和所有含 $i$ 的虚部分开整理：
$$e^{ix} = \underbrace{\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \right)}_{\text{这是 } \cos x \text{ 的级数！}} + i \underbrace{\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)}_{\text{这是 } \sin x \text{ 的级数！}}$$
神奇的事情发生了！等号右边实部的级数正好是 $\cos x$ 的泰勒级数展开，而虚部系数的级数正好是 $\sin x$ 的泰勒级数展开！
因此，我们得到了伟大的欧拉公式： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$
第二步：如何从欧拉公式推到后面的求和？
这一步就是你图片中展示的过程，非常巧妙。
1. 写出两个相关的欧拉公式：
- 第一个： $e^{ix} = \cos x + i \sin x$
- 第二个（用 $-x$ 替换 $x$）： $e^{-ix} = \cos(-x) + i \sin(-x) = \cos x - i \sin x$ （因为余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数）
2. 将两个等式相加： 我们把上面两个等式像做加法一样，左边加左边，右边加右边： $e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i \sin x) + (\cos x - i \sin x)$
3. 简化右边： 右边的 $+i\sin x$ 和 $-i\sin x$ 恰好抵消，结果为： $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$
4. 解出 $\cos x$： 将上式两边同时除以 2，就得到了你图片中的第一个关键等式： $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
5. 将 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 用它们的级数展开（即第一步中的方法）代入：
- $e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \cdots$
- $e^{-ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-ix)^n}{n!} = 1 - ix - \frac{x^2}{2!} + i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - i\frac{x^5}{5!} - \cdots$
6. 将这两个级数相加： $e^{ix} + e^{-ix} = (1+1) + (ix-ix) + (-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^2}{2!}) + (-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^3}{3!}) + (\frac{x^4}{4!}+\frac{x^4}{4!}) + (i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^5}{5!}) + \cdots$
可以看到，所有带 $i$ 的奇数项都相互抵消了，而所有不带 $i$ 的偶数项都变成了原来的两倍： $e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cdot (1) + 2 \cdot (-\frac{x^2}{2!}) + 2 \cdot (\frac{x^4}{4!}) + 2 \cdot (-\frac{x^6}{6!}) + \cdots$
7. 代入公式并简化： 将上式代入 $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$： $\cos x = \frac{1}{2} \cdot \left[ 2 - \frac{2x^2}{2!} + \frac{2x^4}{4!} - \frac{2x^6}{6!} + \cdots \right] = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
8. 写成求和符号形式： 观察这个级数，我们发现：
- 符号是正负交替的，可以用 $(-1)^k$ 表示。
- $x$ 的指数都是偶数，可以用 $x^{2k}$ 表示 ($k=0,1,2,3,...$)。
- 分母是这些偶数的阶乘，即 $(2k)!$。
因此，最终我们就得到了你图片中的完美形式： $\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}$
总结
整个过程的核心逻辑是：
- 承认欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 这个桥梁成立。
- 利用这个桥梁，将三角函数 $\cos x$ 转化为复指数形式 $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$。
- 再将复指数 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 用它们最原始的级数定义展开。
- 级数相加时，虚部项全部神奇地抵消，只留下实部的偶数项，从而自然推导出余弦函数的幂级数。
这是一个从定义出发，通过恒等变形，最终揭示函数内在性质的经典范例，体现了数学的严谨与和谐之美。
（注：文档部分内容可能由 AI 生成）