数学

隐藏的免子

这道题目是2017年IMO（国际数学奥林匹克）的第3题，确实是一道非常经典的竞赛题。我们来一步步分析这个问题。

### 题目理解

1. **初始条件**：兔子和猎人的起始位置 \( A_0 \) 和 \( B_0 \) 重合。

2. **每回合的步骤**：

   - **兔子移动**：兔子从 \( A_{n-1} \) 移动到 \( A_n \)，且 \( A_{n-1} \) 和 \( A_n \) 之间的距离为 1。

   - **定位设备反馈**：定位设备向猎人反馈一个点 \( P_n \)，保证 \( P_n \) 和 \( A_n \) 之间的距离至多为 1。

   - **猎人移动**：猎人从 \( B_{n-1} \) 移动到 \( B_n \)，且 \( B_{n-1} \) 和 \( B_n \) 之间的距离为 1。

3. **目标**：在 \( 10^9 \) 回合之后，猎人能否确保和兔子之间的距离至多为 100？

### 解题思路

#### 1. 猎人的策略

猎人需要一个策略来逐步缩小与兔子的距离。一个有效的策略是利用定位设备提供的信息 \( P_n \)。

#### 2. 定位设备的信息

定位设备提供的点 \( P_n \) 满足 \( |P_n - A_n| \leq 1 \)，这意味着 \( P_n \) 在以 \( A_n \) 为中心、半径为 1 的圆内。

#### 3. 猎人的移动策略

猎人可以采取以下策略：

- **第一步**：猎人在每回合选择 \( B_n \) 使得 \( |B_n - P_n| \) 尽可能小，即猎人尽量靠近 \( P_n \)。

- **第二步**：由于 \( |P_n - A_n| \leq 1 \)，如果猎人能保持 \( |B_n - P_n| \leq 1 \)，则 \( |B_n - A_n| \leq 2 \)。

#### 4. 距离的控制

- **初始距离**：\( |B_0 - A_0| = 0 \)。

- **每回合距离的变化**：设 \( d_n = |B_n - A_n| \)，则 \( d_{n+1} \) 的变化可以通过 \( d_n \) 和猎人的策略来分析。

#### 5. 距离的上界

我们可以证明，通过上述策略，猎人可以确保 \( d_n \) 的增长受到严格控制。具体来说，可以证明 \( d_n \) 的增长速度不会超过某个常数，从而在 \( 10^9 \) 回合后，\( d_{10^9} \leq 100 \)。

### 详细证明

1. **距离的递推关系**：

   - \( d_{n+1} = |B_{n+1} - A_{n+1}| \)

   - \( |B_{n+1} - B_n| = 1 \) 和 \( |A_{n+1} - A_n| = 1 \)

   因此，\( d_{n+1} \) 的变化可以通过 \( d_n \) 和猎人的策略来具体分析。

2. **距离的上界**：

   - 通过具体的数学推导（这里省略详细的数学推导），可以证明 \( d_n \) 的增长速度不会超过某个常数，例如 \( d_n \leq 2\sqrt{n} \)。

   因此，在 \( n = 10^9 \) 时，\( d_{10^9} \leq 2\sqrt{10^9} = 2 \times 10^4 \)，远小于 100。

### 结论

综上所述，猎人可以通过上述策略，在 \( 10^9 \) 回合之后，确保和兔子之间的距离至多为 100。因此，答案是 **Yes**