物理

从二次方程到三次方程————数学家用了上千年把“2”变为“3”

(物理人多就放物理了)

大家所熟知的一元二次方程：$ax^2+bx+c=0 (a{\ne}0)$

当我们把次数升高一次，它就变成了一元三次方程：

$ax^3+bx^2+cx+d=0 (a{\ne}0)$

尽管次数只是多了一次，但它的求解难度却是呈几何倍数增长，$\text{Although}$某些特殊的三次方程可以$\sout{方便}$地求解：

比如$3x^3+9x^2+5x+2=0$，很$\sout{容易}$瞪出$-{\frac{2}{3}}$是原方程的根，然后因式分解。对于二次方程，最早可以追溯到古巴比伦(？忘了是哪个了，)上面对于特殊的一元二次方程$x^2+px+q=0$给出了求解公式。

不过，对于一般的三次方程求解，这个问题一直困扰了人们上千年，直到17世纪，意大利数学家Gerolamo Cardano给出了这样的解法，通过换元将三次方程“降次”，变为二次方程：

Step1，首先，可以通过惊人的注意力♿♿♿发现可以通过换元消去二次项：(其实这一步才是Cardano真正的贡献，后面的几步都是在他之前就有人完成了)

对于方程$ax^3+bx^2+cx+d=0 (a{\ne}0)$，设该方程等价于$a(x+t)^3+c(x+t)+s=0,其中t,s$待定

展开比较系数，有$3at=b,t=\frac{b}{3a}$，因此，用$(x+\frac{b}{3a})$替换$x$代入后可以消去二次项(不妨把三次项系数设为1)，得到：

$x^3+px+q=0$(后面的求根公式也是根据这个形式来的)

Step2，消去三次项：

在新的方程中，令$x=a+b$(再待定一次)，代入，展开再比较系数，得到

$3ab^2=-bp,b=-{\frac{p}{3a}}$(也就是$x=a-{\frac{p}{3a}}$)，这样原方程转化为$a^3+b^3+q=0$

即$a^3-{\frac{p^3}{27a^3}}+q=0$，

令$n=a^3$，这样就成功消去了三次项，得到这样的关于$n$的一元二次方程：

$n^2+qn-{\frac{p^3}{27}}=0$

Step3，求解：

用求根公式得到$n=\frac{-q±\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}$

设$n_1=\frac{-q+\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2},n_2=\frac{-q-\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}$

于是$a=\sqrt[3]{n_1}=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}},b=\sqrt[3]{n_2}=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$

从而$x=a+b=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$

注意：这只是求出来了方程的其中一个实根(根据介值定理可知三次方程至少有一个实根)，可以根据韦达定理求出其他两个根

从上面的推导可以看出

①三次方程求根公式的推导过程远比二次方程复杂，而且求根公式中套了两层根号，不妨将二次和三次方程的求跟公式进行对比：

二次方程：$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

三次方程：$x=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$(其中一个实根)

是不是突然感觉二次方程求根公式非常友好♿♿♿

②与二次方程类似，三次方程也有它的“判别式”$\Delta=\sqrt{q^3+\frac{4p^3}{27}}$，但是判断根的个数还是要通过导数来解决

(四次方程也有求根公式，但是它的形式太过复杂，而五次及以上的方程是没有求根公式的(如何证明？))