物理

伽马函数（Gamma Function, Γ(z)）

我回来也，发点基础的东西

某些基础推导就跳过啦~

部分推导见最后

余元公式同上

$1. 定义与核心表达式$

$欧拉积分形式(定义式，\operatorname{Re}(z) > 0)：$

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$

$欧拉极限形式(解析延拓至 z \notin \mathbb{Z}_{\leq 0})：$

$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}$

$魏尔斯特拉斯无穷乘积（全局定义）：$

$\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}, \quad \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right)$

$汉克尔围道积分（全局定义）：$

$\Gamma(z) = \frac{1}{2i \sin \pi z} \int_C t^{z-1} e^{-t} dt$

$其中 C 为汉克尔围道（环绕正实轴逆时针路径）。$

$2. 关键性质与推导$

$函数方程：$

$\Gamma(z+1) = z \Gamma(z) \quad \text{(由分部积分：} \int_0^\infty t^z e^{-t} dt = z \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt\text{)}$

$阶乘关系：\Gamma(n) = (n-1)!（归纳法证明）。$

$\Gamma(n) = (n-1)!$

$反射公式：$

$\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} \quad \text{(证明：汉克尔积分或余元公式)}$

$倍元公式（Gauss-Legendre）$

$\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right)$

$3. 特殊值$

$\Gamma(1) = 1, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{\pi}.$

$不完全伽马函数（Incomplete Gamma, γ(s,x), Γ(s,x))$

$定义：$

$\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt, \quad \Gamma(s, x) = \int_x^\infty t^{s-1} e^{-t} dt$

$关系：\Gamma(s) = \gamma(s, x) + \Gamma(s, x).$

$多伽马函数（Polygamma Function, ψ^{(n)}(z))$

$定义（伽马函数对数导数）：$

$\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln \Gamma(z)$

$递推：\psi^{(0)}(z+1) = \psi^{(0)}(z) + \frac{1}{z}.$

$伽马函数的标准积分定义为：$

$ \begin{equation} \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, \quad \text{Re}(z) > 0 \end{equation}$

$推导过程： 考虑阶乘的积分推广。$

$对实数  z > 0 ，定义： \begin{equation} \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \end{equation}$

$收敛性证明： 当 t \to 0^{+} ，t^{z-1} e^{-t} \sim t^{z-1}，积分收敛需\text{Re}(z) > 0 。 当 t \to \infty ，指数衰减e^{-t}  主导，积分收敛。$