物理 狄利克雷函数与勒贝格积分
由于 @尊嘟假嘟0.o 跑路了，所以让我帮忙写👁️👄👁️
学习建议：掌握数学分析，尤其是实数的完备性以及第一章的1、2节，如果只是为了理解思想只要有一点点微积分基础即可
直入正题
狄利克雷函数是这样一个函数：$D(x)=\begin{cases}1,&x\text{为有理数}\\0,&x\text{为无理数}\end{cases}$
我们都知道这个函数是黎曼不可积的一个函数，例如要在区间$[0,1]$积分
首先在$[0,1]$插入分点形成子区间，再取点求和
由于有理数的稠密性，所以在任何一个区间里都能取到有理数，如果取到的点$ξ_k$都是有理数，那么所有$D(ξ_k)=1$，黎曼和$\sum 1·Δx_k=1$
同理，由于无理数的稠密性又可以得到黎曼和为0
因此通过改变取点的方式黎曼和就可以在0和1间震荡，无法逼近唯一的极限，因此黎曼函数失效
这个时候需要一种新的积分方法：勒贝格积分
来用一个肥肠通俗易懂的例子看一下勒贝格积分与黎曼积分的区别
你有一大堆面值不同的钞票，有一块的，五块的，十块的，三十块的……
用黎曼的方法是这样数的：第一张，一块，记下，第二张五块，累加，第三张30块，累加……直到最后一张
这里关系的是数钱的顺序，如果钞票被打乱，过程会变，但是结果不会
在数学上这是黎曼积分，把x轴分成细小的区间，在每个区间上取函数值(即钞票面积)乘上区间宽度(钞票的厚度，这里每张厚度一样)，再求和，它关心的是在$\LARGE{定义域}$上切分
接下来用新的方法，勒贝格的方法：先把所有1块的挑出来，一共10张，共10块，再挑出来5块的，5张，一共25块……最后把每个类别的金额加起来
你不关心钞票原本的顺序，只关心每种面值有多少张，他关心的是$\LARGE{值域}$的划分
因此黎曼积分的核心思想是 分割定义域→近似求高→求和
勒贝格的核心思想是 分割值域→测量‘‘底’’的大小→求和
但这里引出一个关键问题：对于‘‘底’’的大小，我们以前用区间的长度，但现在的‘‘底’’可能是一堆点集，我们如何测量它们的大小？
这时就要引出一个重要概念：勒贝格测度
我们希望给数轴、平面、空间上的集合$E$分配一个非负实数$m(E)$，称之为它的测度，用来表示它的‘‘长度’’、‘‘面积’’、‘‘体积’’，这个定义必须满足两个要求：
兼容性：对于区间$[a,b]$必须有$m([a,b])=b-a$
可数可加性：如果有一系列$\Large{互不相交}$的集合$E_1,E_2,E_3,$…，则有$m\left(\bigcup_{k=1}^{∞}E_k\right)=\sum_{k=1}^{∞}m(E_k)$
很显然，这个东西放在这很阴，所以还是翻译成人类语言：如果有一系列互不相交的集合$E_1,E_2,E_3,$…，那么它们之并的测度必须等于它们各自测度的和
这就是勒贝格测度区别于古典长度最核心的性质
恩对，上面说的貌似都是希望，需要实现一下：
如何测量一个任意集合$E$的大小？勒贝格的想法是‘‘从外部覆盖’’，因此也就有了勒贝格外测度
(未完待续
共1条回复
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饼ヾ芒
16小时前
紧急通知！！！
不要把勒贝格积分理解成这样分割！！！
这里的分割值域不是横向积分，依然是纵向的，当时我就是这样误解的，后面才清楚
正确积分形式是这样的
注意哈，这里的分割是无穷小的，每一份是相当的，图不规范，理解大致意思就行😥
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