物理

函数，极限，连续

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1. 函数的定义

设有两个变量$x$和$y$，$D$是一个非空数集。如果对于$\forall x \in D$，变量$y$按照某一确定的法则$f$总有相应的值与之对应，则称$y$是$x$的函数，记为$y = f(x)$，集合$D$称为函数的定义域。

2. 函数的性质

（1）奇偶性

设函数$y = f(x)$的定义区间$I$关于原点对称，即$I \subseteq R$。若对于$I$内任意一点$x$，恒有$f(-x) = f(x)$，则称$f(x)$为区间$I$内的偶函数；如果恒有$f(-x) = -f(x)$，则称$f(x)$为区间$I$内的奇函数。

（2）有界性

设函数$f(x)$在X上有定义，如果存在常数$M \gt 0$，当$x \in X$时，恒有$|f(x)| \leq M$，则称$f(x)$在$X$上有界。

（3）周期性

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若存在$T \gt 0$，对任意的$x \in I$，有$x + T \in I$，并且$f(x + T) = f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，使得上述关系式成立的最小正数$T$称为$f(x)$的最小正周期，简称为函数$f(x)$的周期。

（4）单调性

设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于该区间内的任意两点$x_1 \lt x_2$，恒有$f(x_1) \lt f(x_2)$（或$f(x_1) \gt f(x_2)$ ），则称$f(x)$ 在区间$I$内单调增加（或单调减少）。

3. 反函数、复合函数、初等函数、分段函数、隐函数

（1）反函数

设函数$y = f(x)$的定义域为$D$，值域为$R$。若对任意$y \in R$，有唯一确定的$x \in D$，使得$y(x)$，则记为$x = f^{-1}(y)$，称其为$y = f(x)$的反函数。

（2）复合函数

若函数$u = \varphi(x)$在$x_0$处有定义，函数$y = f(u)$在$u_0 = \varphi(x_0)$处有定义，则函数$y = [f(\varphi(x))]$在$x_0$处有定义，称$y = [f(\varphi(x))]$是由函数$y = f(u)$和$u = \varphi(x)$复合而成的复合函数，$u$为中间变量。

（3）初等函数

由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算得到的，并能用一个数学表达式表示的函数，称为初等函数。

注 六类基本初等函数为：

$y = C$（常数）；

$y = x^a$（$a \in \mathbb{R}$是常数）；

$y = a^x$（$a \gt 0$且$a \neq 1$）；

$y = \log_a x$（$a \gt 0$且$a \neq 1$），当$a = e$时，记$y = \ln x$；

$y = \sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$；

$y = \arcsin x, \arccos x, \arctan x, \operatorname{arccot} x$。

(4) 分段函数

在定义域内的不同范围用不同表达式表示的函数称为分段函数。

注 常见的分段函数有:

① 绝对值函数$|x| = \begin{cases} x, ~~~ x \geq 0, \\-x, ~~~ x \lt 0.\end{cases} $

② 符号函数$sgn$ $x$ = $\begin{cases} 1, ~~~ x \gt 0, \\0, ~~~ x = 0, \\-1, ~~~ x \lt 0.\end{cases} $

③ 取整函数$[x]$表示不超过$x$的最大整数，显然有$[x] \leq x \lt [x] + 1$。

(5) 隐函数

如果在方程$F(x, y) = 0$中，当$x$取某区间内的任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的$y$值存在，则称方程$F(x, y) = 0$在该区间内确定了一个隐函数$y = y(x)$。

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