物理

[论坛资料室]Riemann球面概论

因为有人问所以开个帖专门讲一下。

$\text{Riemann}$球面本质上是一个$S^2$，扩充复平面$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$通过球极投影$\psi:\hat{\mathbb{C}}\to S^2$与之建立同胚关系。很多人不理解这个$\infty$（无穷远点）是什么。想要理解无穷远点就必须理解紧致化。

众所周知，实数轴可以表示成无界区间$\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$。这是很多同学第一次真正接触无穷大这个符号。然而上过高中的同学都清楚，无穷大不是数字，而仅仅表示一种趋向无穷远的趋势。此时任何无穷大参与的运算都是无意义的。

众所又周知，开集不是紧集，无界集不是闭集，所以无界集不是紧集。实轴$\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$无界，因此不是紧集。在实分析里，偶尔会需要实轴具有紧性。因此，我们不得不为实数轴添加上下界。定义：

$$+\infty=\sup\mathbb{R}$$

$$-\infty=\inf\mathbb{R}$$

从而我们有所谓的闭实数轴$\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,+\infty]$。这个操作在数学上称之为紧致化，把非紧集强行变成紧集的一种手段。这些人为添加的上下界，也就是所谓的无穷大，其实是数学家没办法乱加的。它们的作用仅仅是保证实数轴有界且闭，因此只能参与极少量的运算，没有明确定义，也不是数字，很多情况下仍然是无意义的。像是纠结无穷大乘零是多少这种东西完全是没有意义的。

我们回到$\text{Riemann}$球面。为了方便参数化我们将它嵌入$\mathbb{R}^3$（此处依照数学界惯例，不用$x,y,z$，而用$\xi,\eta,\zeta$来表示$\text{Riemann}$球面上的点在三维空间中的坐标），并把复平面视作$xy$平面同样嵌入$\mathbb{R}^3$。设复数$z\mapsto (x,y,0)$，将$\text{Riemann}$球面的北极$(0,0,1)$与它连线，得到一条直线，我们不难将其参数化为$(tx,ty,1-t)$，其中$t\in[0,\infty)$。这条直线交球面于另一点，交点处我们得到方程

$$(tx)^2+(ty)^2+(1-t)^2=1,\quad t\neq0$$

解得

$$t=\frac{2}{(x^2+y^2)+1}=\frac{2}{|z|^2+1}$$

交点坐标

$$\xi=\frac{2\Re(z)}{|z|^2 + 1},\quad \eta=\frac{2\Im(z)}{|z|^2 + 1},\quad \zeta=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$$

这种把一个复数通过连线交点变换到球面上一点的方式构成一个映射：

$$\psi:z\mapsto\left(\frac{2\Re(z)}{|z|^2 + 1},\frac{2\Im(z)}{|z|^2 + 1},\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right),\quad z\in\mathbb{C}$$

这个映射就是我们反复提到的球极映射。不难从几何和代数两方面验证这是一个双射，即复平面上任意一点都能在球面上找到对应点。

然后你就发现一个巨大的问题：复平面内没有任意一点能与北极点对应。