物理 天文竞赛专题----球面几何
说明：本帖为天文/地理竞赛帖，其中的球面几何知识可能不太符合物理竞赛要求，不过有科学错误欢迎指出
前文请看普鲁士蓝的天文分享帖的第二章
首先定义恒星位置的几个参数：
赤经α/赤纬δ：恒星在（第二）赤道坐标系下的经纬度。这一坐标系以春分点为δ=0，天赤道为α=0，北极星α=90°，且永远有一条经度线与子午线重合（即北极点永远在地平坐标系正北方向）。因此该坐标系相对地平坐标系是运动的，随着地球的自转而旋转。所有涉及经度的均用0h-24h表示0°-360°。
方位角A/高度角h：恒星在地平坐标系下的经纬度。这一坐标系以南点为A=0，地平面为h=0，北点A=180°，高度角即观察者观察时的仰角。
时角t：恒星在第一赤道坐标系下的经度，该坐标系下纬度为赤纬。该坐标系相对地平坐标系不动，时角相当于一根从北极点指向恒星位置的时针的示数，随恒星东升西落而变化。规定恒星上中天（即地平高度角最大时）t=0h，顺时针增加，下中天时为12h。
恒星时S：通过恒星日计量的时间。规定秋分点恒星时与太阳时重合，此后每天领先太阳时约3m56s，元旦时差约为6h21m。
通过以上的介绍，我们描绘一颗恒星与春分点（羊角符号）的升落：
可以看到，球面的大圆上，恒星与春分点的距角即为赤经α，通过南北的子午线表示上中天位置，因此通过上下中天位置的大圆弧上的点与极点的距角即为时角t。我们可以得出：
$\boxed{春分点时角＝恒星时}$
接下来，细心的同学已经发现了，恒星的赤经与春分点的赤经之和，恰好等于春分点的时角，因此对所有恒星有：
$\boxed{S=α+t}$
有了这些，我们对整个天球进行建模（以下“弧XX”的角度均指弧的圆心角角度）：
图上M点为恒星，羊角为春分点，倾斜的大圆为天赤道，水平的大圆为地平面。显然北极星高度角等于当地纬度φ。过北极点作弧PM垂直于天赤道交于H，MH即为赤纬δ，YH即为赤经α（为什么弧YH的圆心角等于∠YPH？我们后文会提到）。∠ZPM即为时角t，过天顶Z作弧ZM垂直于地平面交于I，弧SI（等于∠IZS）为方位角A，弧IM为高度角h。
接下来我们搬出球面三角形公式：
$\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}$
$\cos c = \cos a\cos b + \sin a\sin b\cos C$
$\cos C = -\cos A\cos B + \sin A\sin B\cos c$
$\sin c\cos B = \cos b\sin a - \sin b\cos a\cos C$
$\sin C\cos b=\cos B\sin A + \sin B\cos A\cos c$
接下来我们在三角形PZM内进行推导：
三角形中，∠PZM=180°-A，∠ZPM=t，PM=90°-δ，PZ=90°-φ，MZ=90°-h。
套用球面三角公式可以得到：
$\sin h = \cos(90°-h) = \sin φ\sinδ + \cos φ\cos δ\cos t$（三角恒等变换略）
$\sin A = \frac{\cos δ\sin t}{\cos h}$
$\cos A = \frac{\sin φ\sin h - \sinδ}{\cos φ\cos h}$
还有一些推导公式：
由公式(1)，$\frac{\sin(180°-A)}{\sin (90°-δ)} = \frac{\sin t}{\sin (90°-h)}$，
则有$\sin A\cos h = \sin t\cos δ$
恒星升落时的两个关系：
由公式(3)，$\cos (90°-δ) = \cos (90°-φ)\cos (90°-h) - \sin (90°-φ)\sin (90°-h)\cos (180°-A)$
升落时h=0，代入得$\boxed{\cos A = - \frac{\sin δ}{\cos φ}}$
同理得$\boxed{\cos t = - \tan δ\tan φ}$
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