数学

突发奇想的一道数论题

啊？2？

$是不是知道φ(n)表达式就比较显了$

$3×2^k及其全部正因子$

$我说怎么怪怪的，吧φ(n)指数记错了$😅

答案→$n=2^r3^s,r,s∈\mathbb{N}$

①若$n=1$，则$\phi(n)=1$，显然满足要求；

②若$n{\ge}2$，由算数基本定理，设$n=\prod_{i=1}^tp^{\alpha_i}_i$，其中$p_i$为素数(不妨设$p_1$<$p_2$<$\cdots$<$p_t$)，$\alpha_i,t∈\mathbb{N}^{*},i=1,2,{\cdots},n$

又$\phi(n)=n\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})=\prod_{i=1}^tp^{\alpha_i-1}_i(p_i-1)$

结合$\phi(n)|n$，于是有$\prod_{i=1}^t(p_i-1)|\prod_{i=1}^tp_i$

若$p_1$>$2$，则整除式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾！故$p_1=2$

原整除式化为$\prod_{i=2}^t(p_i-1)|2\prod_{i=2}^tp_i$

若$t{\ge}3$，则$v_2(\prod_{i=2}^t(p_i-1)){\ge}2$，但$v_2(2\prod_{i=2}^tp_i)=1$，矛盾！故$t=1$或$2$

若$t=1$，则$n=2^r,r∈\mathbb{N}^{*}$

若$t=2$，设$n=2^rp^s$，由整除式得$2^{r-1}p^{s-1}(p-1)|2^rp^s$，即$p-1|2p$⇒$p-1|2,p=3$⇒$n=2^r3^s$

综上，$n=2^r3^s,r,s∈\mathbb{N}$

让我们来举一反三吧！♿

求所有的正整数 $n>1$，使得 $n \mid \sigma(n)$。其中 $\sigma(n)$ 表示 $n$ 的所有正因子之和。

(没算，但应该很麻烦)