[注意力题组] 代数

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[注意力题组] 代数

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 爱5汉的数物 更新于2025-10-2 04:39:22

国庆再更一题

慢慢更，不着急


$题: 解方程：x^3-6x^2+9x-3=0$



$题: 数列\{a_n\}满足：$


$对于∀m,n∈N_+，a_{m+n}=a_m+a_n+\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}}$


$且a_1=1，求a_n$



$题(2016西部): 设a_1,a_2,…,a_n是n个非负实数，记S_k=\sum^k_{i=1}a_i，1≤k≤n.证明:$

$\sum^n_{i=1}(a_iS_i\sum^n_{j=i}a^2_j)≤\sum^n_{i=1}(a_iS_i)^2.$


$题(某早年TST): a,b,c,x,y,z∈\mathbb{R}，求证：$

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}+ax+by+cz ≥ \frac{2}{3}(a+b+c)(x+y+z)$

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泰勒展开的尽头是什么
1月前
注 意 到 ① 没 有 有 理 根，② 好 复 杂，所 以 不 想 算 了 ( 好 了，不 开 玩 笑 了😁 )

①$令x=a+2，代 入 后 展 开 整 理 之 后 化 简 得 到a^3-3a-1=0，有三个实根$

$凭 借 强 大 记 忆 力 记 得 可 以 用 三 角 表 示a_k=2\cos{(\frac{1}{3}\cdot\arccos{(\frac{1}{2})}-\frac{2k\pi}{3})}，k=0,1,2$

$代 入 k 值 计 算 整 理 得a_0=2\cos{\frac{\pi}{9}}，a_1=2\cos{\frac{5\pi}{9}}，a_2=2\cos{\frac{7\pi}{9}}$

$所以化简后求得解为x_1=2+2\cos{\frac{\pi}{9}}，x_2=2+2\sin{\frac{5\pi}{9}}，x_3=2+2\sin{\frac{7\pi}{9}}$



②$计算出a_2=\frac{7}{2}，a_3=\frac{17}{3}，a_4=\frac{31}{4}，a_5=\frac{49}{5}$

$注意到a_n的分母为n，猜测：分子为二次三项式$

$不妨设分子为an^2+bn+c$

$\large{解 方 程 发 现 有 解!}$

$得 出a=2，b=0，c=-1，所 以a_n=2n-\frac{1}{n}，经 验 证 成 立$
9条评论
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Harry·四维碎片（淡坛版）
1月前

为什么猜测分子为二次三项式🤔

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1月前
因为分子是二阶等差数列啊
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即未用户4540
1月前

想问一下怎么想到令x等于a加2的，后面是怎么解出来的

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泰勒展开的尽头是什么 回复 即未用户4540
1月前
根据系数看，取加2目的是消二次项，后面因为有三个无理根，所以代入公式(这个公式用LaTeX有点复杂，在这我就不打了)就能求根
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即未用户4540 回复 泰勒展开的尽头是什么
1月前

好的好的谢谢佬，那个公式能简单说一下吗，就是是什么方程的求根的公式啊

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泰勒展开的尽头是什么 回复 即未用户4540
1月前

好吧，那我手打一下

$对于方程x^3+ax+b=0$

$其三个根为2\sqrt{-\frac{a}{3}}\cos{(\frac{1}{3}\arccos{(\frac{-3\sqrt{3}b}{2\sqrt{-a^3}})}-\frac{2k\pi}{3})}，对于k=0,1,2$

这个不用记，几乎也用不到，(我是为了省事记的😁)

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即未用户4540 回复 泰勒展开的尽头是什么
1月前

好的好的谢谢佬了

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AE86
1月前

好强的注意力😯

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泰勒展开的尽头是什么 回复 AE86
1月前
帖子标题是什么😋
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天贶
1月前

注意到第二问可以裂项

构造数列${a_n＋\dfrac{1}{n}}$

然后直接注意到通解形式，归一下即可10.png

1条评论
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天贶
1月前

注意不到通解也没关系

构造完数列令n等于一，直接化成等差数列

解即可

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gdzh4233
1月前

第一题实在注意不到，三次方展开算炸了💦💦💦

第二题令m=1，a(n+1)=an+根号(1+n^-2+(n+1)^-2)+1

注意到: 1+n^-2+(n+1)^-2=[(n(n+1)+1)/n(n+1)]^2，带入化简得a(n+1)=an+(n(n+1))^-1 +2

令bn=an-a(n-1)=((n-1)n)^-1 +2，裂项得bn=(n-1)^-1 - n^-1 +2

an=b2+b3+.....+bn-a1=1-n^-1 +2n-1=2n-n^-1


2条评论
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gdzh4233
1月前
板砖输入法太难用了！
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好好学习，天天向上！（雅）
1月前

可以用键盘(((

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好好学习，天天向上！（雅）
1月前

@即未用户4540 应该是这个

Screenshot_2025-08-20-20-14-13-181.jpg

不过大部分的考试应该都不会使用这个东西(((

1条评论
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即未用户4540
1月前
好的好的，太感谢了！
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爱5汉的数物
1月前

好的，我说一下

第二题简单，配方对于不熟悉的同学来说比较吃注意

第一题注意不到三倍角根本做不了😭

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❑毅❒
4天前
第三题是构造柯西不等式证吧

展开左边得
$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) $
即
$ \sum_{i=1}^{n} \left( a_i \left( \sum_{k=1}^{i} a_k \right) \left( \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \right) $
右边展开得：
$ \sum_{i=1}^{n} \left( a_i \left( \sum_{k=1}^{i} a_k \right) \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 $
即证：
$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 $
由柯西不等式
$\left( \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_i^2 \right) $
令
$x_i = a_i S_i $
$ y_i = \sqrt{\sum_{j=i}^{n} a_j^2} $
则有：
$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \cdot \sqrt{\sum_{j=i}^{n} a_j^2} \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \left($ \sqrt{\sum_{j=i}^{n} a_j^2} \right)^2 \right) $
得
$ \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) $
因为 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_j^2 = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_j^2 = \sum_{j=1}^{n} j a_j^2 \geq 1$
故
$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 $
Q.E.D
5条评论
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爱5汉的数物
4天前

事实上更自然的想法是Able变换

你这好像差不多

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❑毅❒ 回复 爱5汉的数物
4天前

啊啊啊?什么变换？我不是专门学数竞的听不懂啊疑问1.png能不能解释一下，佬

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AE86 回复 ❑毅❒
4天前

阿贝尔abel变换，参考不等式的秘密或者搜一下

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❑毅❒
4天前

啊？怎么乱码了

乱码是

则有：

$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \cdot \sqrt{\sum_{j=i}^{n} a_j^2} \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \left( \sqrt{\sum_{j=i}^{n} a_j^2} \right)^2 \right) $

$\sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) $

因为 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_j^2 = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_j^2 = \sum_{j=1}^{n} j a_j^2 \geq 1$（当 $a_i \geq 0$ 时），

$ \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \sum_{j=i}^{n} a_j^2 \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i S_i \right)^2 $

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❑毅❒ 回复 AE86
4天前

谢谢🙏🙏