数学

高难度题目，大佬试试？

共有1154个

有理数化为小数后分为小数分为有限小数（小数位数只有有限个），纯循环小数（从小数第一位就开始循环的小数）和混循环小数（不是从小数第一位开始循环的小数），设一个分数为$\frac{p}{q}$,其中$(p,q)=1$（不妨设$0<p<q$)，记$\frac{p}{q}$化为小数之后为$a$,则有：

①若$a$为有限小数，则$q$的因子中仅有2和5（可以仅有2或仅有5）；②若$a$为纯循环小数，则$q$的因子中一定没有2，5；③若$a$为混循环小数，则$q$的因子中既有2或5，也有其他素因子（证明放在评论区♿♿♿)

而在1～2014中，

（i）（有限小数）有10个数仅能被2整除：$2^i(i=1,2,\cdots,10)$,有4个数仅能被5整除：$5^1,5^2,5^3,5^4$,同时能被2和5整除的有$4×10=40$个，共有54个；

（ii）（纯循环小数）1～10中有4个数1，3，7，9不能被2或5整除（虽然$\frac{1}{1}$是整数，也把它考虑在内），再加上2011和2013，有$201×4+2=806$个纯循环小数；

所以混循环小数共有$2014-54-806=1154$个混循环小数

上面3个结论的证明(上面LaTeX的错误是0<p<q(不知道怎么的用LaTeX打不出来♿♿♿))

(写的太急，字有些丑还请谅解♿♿♿)