物理

Look!是一筐半湿不干的干货(#数学篇)

本帖适用人群：小学～初中生（预备轮及以下）实则就是主播肝完预备轮之后的总结，当然也有一些中考压轴题

由于本帖的学术指标不够格，所以只是普通的学术帖，并不在obox专区，但也希望大家不要水评论，保持本帖良好的环境，同时主播也会继续学习新知识，争取有朝一日发上真正的竞赛学术帖

——————

常见因式分解：一提，二代，三分组；十字相乘；拆添项；双十字相乘等（一提，指提取公因式；二代，指代入公式）

常用公式：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

                   $(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$

                   $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

                   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

                   $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

                   $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

                   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

注意看，在上面的公式中，有许多类似的式子，例如：$a^2+ab+b^2$

这个式子的每一项的次数都相等，都是二次项，我们把这样每一项次数都相同的整式称作＊次齐次式，就如上面这个式子我们就叫它为二次齐次式

关于二次三项式既约的判断：（在有理数／整数的范围内）

1.$x^2+bx+c=(x+k_1)(x+k_2)$

   即二次多项式＝（一次因式）（一次因式）

则$k_1~k_2$为$x^2+bx+c=0$的两根

∴若∆<0，$x^2+bx+c$无法因式分解

      ∆≥0，也不一定因式分解，因为可能为无理根（如：$x+\frac{3±\sqrt{5}}{2}$）

2.『整系数多项式若能分解为有理数系数因式的积，则定能分解为整系数因式的积』

因式定理：当$f(c)=0$时，即$f(x)$除以$(x-c)$的余数为0

                                            即$f(x)$能被$(x-c)$整除

                                            即$f(x)$有一因式$(x'-c)$

1）对称：$x+y↔y+x$

                 $xy↔yx$

                 $x+y+xy↔y+x+yx$

      常见对称：$xyz$

                         $x^3+y^3+z^3$

                         $x^2y+y^2x$

2）轮换：      x

                 ↗         ↘

              z       ←       y

①轮换式因式分解的结果一定是轮换式的积（一定也轮换）

②每个轮换式都可以被表示为基本轮换式线性之和

基本轮换式：一次：$x+y+z$

                       二次：$x^2+y^2+z^2$

                                  $xy+yz+zx$

                       三次：$x^3+y^3+z^3$

                                  $x^2y+y^2z+z^2x$

                                  $xyz$

                                  $xy^2+yz^2+zx^2$

重要公式：$a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

                                                     $=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

韦达定理：二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$若有两根$x_1~~~x_2$

                   则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

                      $=ax^2+[-a(x_1+x_2)x]+a(x_1x_2)$

                      $=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$

⇒$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

   $x_1x_2=\frac{c}{a}$

基本不等式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$

                       $⇔a^2+b^2≥2ab$（a，b均为实数）

令$a^2=x~~~b^2=y$

则$x+y≥2\sqrt{xy}$

   $\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$（当且仅当$x=y$时取等号）

求最值：一正，二定，三相等