数学

反三角函数

零、前言

我们知道道基本初等函数包括以下六种函数：

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合（就像平移、对称、反转等）所得的函数叫初等函数

注意：观看此帖子的朋友们至少有三角函数基础，如：诱导公式（在这个帖子会大量用到诱导公式）

 一、反函数

• $设函数y = f(x)的定义域为D_f，值域为R_f。若对于∀y∈R_f都存在唯一的x∈D_f满足 y = f(x)，则称此函数为f的反函数，记为x = f^{-1}(y)。$

  $\color{red}{注：习惯上也将y = f(x)的反函数写为y = f^{-1}(x)}$

  $\color{skyblue}{并不是所有的函数都有反函数}$

  $\color{red}{函数y = f(x)与其反函数y = f^{-1}(x)的图像关于y=x对称}$

  $\color{red}{单调函数一定有反函数}$

  $\color{red}{反函数要求原函数是双射}$ 

  就像$y = x^3$它的反函数就是$y =\sqrt[3]{x}$

小试牛刀

[例题1] 判断下列函数是否有反函数；如果有，请求之：

本题出自《预备轮国际版AMC12综合》第一讲 第五页 例题1.4

1. $f(x) = 2x + 3$

2.$f(x) = x^2 + 1$

3.$f(x) =\sqrt{x-1}$

反函数的求法可以参考《基础轮数学A1》第141页

二、反三角函数

     1. 反三角函数存在的前提

          由于三角函数（如正弦、余弦）具有周期性和非单调性，需将其定义域限制在严格单调的区间内，在能建立一一映射关系。

      例：

• $正弦函数y=sin(x)限制在[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]时单调递增，可以定义反正弦函数y=arcsin(x)$
• $余弦函数y=cos(x)限制在[0,π]时单调递减，可以定义反余弦函数y=arccos(x)$

     2. 主值区间

         对周期性与值域受限的三角函数，将其定义域限制在严格单调且覆盖完整值域子区间，使其成为双射，该子区间称为主值区间。

     3.反三角函数本质

        反三角函数输入为三角函数值 ，输出为对应角度值，满足：$y=arcsin(x)当且仅当x=sin(y),y∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}],x∈[-1,1]$其他反三角函数同理。

        [补充]:arc  /a:k/  n.弧

三、反正弦函数，$\color{red}{y=arcsin(x)}$

      定义域：$x∈[-1,1]$

      值域：$y∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$

      单调性：单增

      奇偶性：奇

      有界性：有界

      周期性：无

$如图为y=sin(x)(蓝)和y=arcsin(x)(红)的图像$

小试牛刀

[例题2]在下列式子中，有意义的为（    ）。

$A.arcsin(\sqrt{2})$.   $B.arcsin(-\frac{π}{3})$.   $C.sin(arcsin(2))$.   $D.arcsin(sin(2))$

• 小结论

1. $sin(arcsin(a))=a,(a∈[-1,1])$
2. $arcsin(sin(a))=a,(a∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}])$

[思考题]$“y=sin(x),x∈[\frac{π}{2},\frac{3π}{2}]的反函数是x=arcsin(y),y∈[-1,1]”,这个说法对吗?$

这道题一周后我会把解题的过程发在评论区，有思路的同学可以尝试尝试。需要思路的话，我可以在评论区大概的讲讲。