物理 关于电阻网络中电导矩阵与图论中拉普拉斯矩阵的相似性及其（部分）行列式的关系
我们知道一个电阻网络可以通过电导矩阵来刻画：
$$I_{i}=\mathscr{D}_{ij}U_j$$
而其中，$I_{i}$是第$i$个点流入的电流，$U_{i}$是第$i$个点的电压，$\mathscr{D}$是电导矩阵；对于完全图，可以写作（其中$R$表示$ij$两点的电阻，我发现没法打出\$R_{ij}\$，似乎是质心这个markdown编辑器不支持花括号的嵌套，属实是有待改善！）：$$\mathscr{D}_{ij}=-\frac{1}{R}\ (i\neq j)$$
以及$$\mathscr{D}{ii}=-\sum \mathscr{D{ij}}$$
如果要求某些个点电流为零，即可以求出一部分的子图的电导矩阵。（也就是说，让其它部分的点没有电流流入流出，相当于不将他们纳入“可以接入外界的点”的讨论范围）
这一矩阵与拉普拉斯矩阵是极其相似的，而我们知道拉普拉斯矩阵去掉任意第$i$行与第$i$列后，剩下部分的行列式即是图中生成树(spanning tree)的个数。那么请问，$\mathscr{D}$以及子图的$\mathscr{D}$去掉第$i$行与第$i$列后计算其余下部分的行列式，有何物理意义呢？
谢谢大伙。
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其实不是这样的 刨掉第i个点的电导矩阵是这样获得的：
一、将$I_i=0$这个条件代入$I=\mathscr{D}U$，然后解出$U_i=U_i(U_1,...,U_{i-1},U_{i+1},...,U_n)$这个函数
二、将$U_i$反代回$I=\mathscr{D}U$得到$I'=\mathscr{D}'U'$。
而且电导矩阵是不可逆矩阵（其物理意义在于给定各点电流，电压可以加一个常数），所以电导矩阵的行列式始终都等于0.
妙啊，感觉理解加深了
拉普拉斯矩阵，它有两种形式，一种是不加权形式，就是相当于每边全都是1，第二种是加权形式，那我们只需要去定义所有的权都是正数。在这种情况下面，拉普拉斯矩阵，也就是电导矩阵，两者具有完全相同含义。包括正定性也就显然是电阻功率为正。用最简单的想法，我们让第i个点和第j个点之间连上N条电阻，那这时候这条线上的电导就是N，对应图论中就是权重为N。
老师好！
那么请问我一开始所问到的，电导矩阵去掉一行一列以后算行列式，有什么物理上的意义吗？
（权重全部为1的拉普拉斯矩阵，去掉一行一列以后的行列式是图里面生成树的个数；我就比较好奇这个在物理里面有没有啥对应的或者有没有啥物理意义，谢谢老师(/ω\)）
假设每边的电导都是一个常数的整数倍，则这个行列式可以视为有重边图中生成树的个数
感觉这么说有点牵强，这个也只能是电阻网格对应的图的性质，而不是电阻网格的什么物理性质。
不过说起来生成树个数这种东西应该没什么物理上的对应吧。