数学

求出圆周率

马青公式:$\[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\]$

拉马努金？

巴塞尔问题 1+1/4+1/9+1/16………=π^2/6

拉马努金恒等式

算一下ln(-1)/i

我知道这个我之前搞过好几次了π=2*$\color{red}∫^r_-r√(r^2-x^2)dx$ 且x=r=1 最后得出π=$\sin^{-1}(1)-sin^{-1}(-1)$Rad弧度制

谢惠民上给的公式

【思考】嗯，用户问的是算圆周率的公式。这个问题看起来简单，但背后可能隐藏着不同的需求。用户可能是数学爱好者想深入了解，也可能是学生需要简单解释，甚至可能是程序员想找实现方法。从问题简洁性来看，用户可能只需要几个经典公式。但考虑到圆周率计算方法的多样性，我最好覆盖不同场景：从古人用的几何法到现代计算机用的高级级数，再到趣味性的蒙特卡洛方法。用户没指定深度，那应该平衡严谨和易懂。先列出最著名的公式比如莱布尼茨和马青公式，再用简单语言解释原理。避免一上来就堆砌复杂公式吓到人。注意到用户用“算”而不是“证明”，说明更关注实际计算而非理论推导。所以重点放在可操作的算法，附带一点历史背景帮助理解。对了，蒙特卡洛方法虽然效率低但直观有趣，应该包含。毕竟用户可能想动手试试，而扔飞镖比算无穷级数更亲民。最后要提醒收敛速度问题——否则用户用莱布尼茨算了十万项发现还不如祖冲之精确会困惑的。实用建议很重要：想快速计算用拉马努金，想理解原理用阿基米德割圆法。要不要提现在计算机用的迭代算法呢？可能超纲了，但Chudnovsky公式这种里程碑级别的还是值得一说，毕竟算出了万亿位纪录。折中方案是简单提一句不展开。对了，补充现代应用场景：拉马努金公式算手机里的π，BBP公式算特定位数。这样用户能感受到这些公式的实际价值。【回答】计算圆周率（π）的公式有很多种，从古代的几何近似到现代的无穷级数和迭代算法。以下是一些经典且重要的公式，按历史和发展分类：---### **一、古典几何法（数值逼近）**1. **阿基米德割圆术（公元前250年）**     通过计算圆内接和外切正多边形的周长来逼近π：     - 内接正n边形周长 < 圆周长 < 外切正n边形周长     - 当n足够大时（如n=96），阿基米德得到 **3.1408 < π < 3.1429**。---### **二、无穷级数（微积分时期）**2. **莱布尼茨公式（1674年）**     首个通过无穷级数计算π的公式（但收敛慢）：     \[   \pi = 4 \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \right) = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}   \]     **计算100万项仅精确到小数点后5位**。3. **马青公式（1706年）**     利用反正切函数的恒等式（曾用于计算π的100位）：     \[   \pi = 16 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - 4 \arctan\left(\frac{1}{239}\right)   \]     其中 \(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\)。4. **拉马努金公式（1914年）**     天才数学家发现的超快收敛级数（每项增加8位精度）：     \[   \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}   \]     此公式被现代计算机广泛采用。---### **三、迭代算法（计算机时代）**5. **高斯-勒让德算法**     二次收敛（每次迭代精度翻倍），步骤如下：     - 初始化：       \[     a_0 = 1, \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad t_0 = \frac{1}{4}, \quad p_0 = 1     \]     - 迭代：       \[     \begin{align*}     a_{n+1} &= \frac{a_n + b_n}{2}, \\     b_{n+1} &= \sqrt{a_n b_n}, \\     t_{n+1} &= t_n - p_n (a_n - a_{n+1})^2, \\     p_{n+1} &= 2 p_n.     \end{align*}     \]     - 则 \(\pi \approx \frac{(a_{n+1} + b_{n+1})^2}{4 t_{n+1}}\)。     **仅需25次迭代即可精确到4500万位**。6. **楚德诺夫斯基算法（1989年）**     当前计算π的世界纪录常用算法（基于拉马努金思想）：     \[   \frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)! (k!)^3 640320^{3k + 3/2}}   \]     **每项增加约15位精度**，曾用于计算π的**100万亿位**（2023年纪录）。---### **四、概率法（蒙特卡洛方法）**7. **随机投点实验**     通过随机模拟估算π：     - 在正方形内随机投点，统计落在内切圆内的比例。     - 若正方形边长=2，则圆半径=1，面积比为 \(\frac{\text{圆面积}}{\text{正方形面积}} = \frac{\pi}{4}\)。     - 故 \(\pi \approx 4 \times \frac{\text{圆内点数}}{\text{总点数}}\)。     **适合教学演示，但效率极低**。---### **五、其他有趣公式**8. **BBP公式（1995年）**     可直接计算π的十六进制特定位（无需之前所有位）：     \[   \pi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6} \right)   \]     用于验证大规模计算的准确性。9. **Wallis乘积（1655年）**     连乘积形式的经典公式：     \[   \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots   \]---### **总结与实用建议**- **学习/演示**：用莱布尼茨级数或蒙特卡洛法（直观但慢）。  - **高效计算**：拉马努金级数或高斯-勒让德迭代（编程常用）。  - **前沿纪录**：楚德诺夫斯基算法（超线性收敛）。  现代计算π的意义已不仅是数学挑战，更是对超级计算机和算法的压力测试！