数学 不等式收集
- 本帖所收录不等式可供练习，欢迎各位在评论区给出证明
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1.康托洛维奇（Kantorovich）不等式
$设正实数 \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} 满足 \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1，实数 0<m \leq a_{i} \leq M, i=1,2, \cdots, n ．则$
$\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} a_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{i}}{a_{i}}\right) \leq \frac{(M+m)^{2}}{4 M m} . $
2.波利亚（Polya）不等式
- 1
，我根本看不懂
+
）（
+
）
所以大佬，可不可以讲解一下，那些字母和符号都代表啥？
一串数和另一串数，满足一些条件，就会有一个不等关系（？
。。。那具体是什么条件和关系呢？
。。。那具体是什么条件和关系呢？
所以大佬，这些都是啥东西啊！？$\sout{\tiny{好像在哪见过来着}}$
$①Aczel不等式：$
$设a_1，a_2 ，\cdots ，a_n，b_1，b_2，\cdots ，b_n \in R，且$
$a_1^2\geq \sum_{i=2}^n a_i^2，b_1^2\geq \sum_{i=2}^n b_i^2$
$则(a_1b_1-a_2b_2-\cdots -a_nb_n)^2\geq (a_1^2-a_2^2-\cdots -a_n^2)(b_1^2-b_2^2-\cdots -b_n^2)$
$②Carleman不等式：$
$设\{a_n\}为非负实数数列，且\sum{i=1}^{\infty} a_i \lt \infty$
$则\sum_{i=1}^{\infty}\prod_{j=1}^i a_j^{\frac{1}{k}} \leq e\cdot\sum_{k=1}^{\infty} a_k$
$③Beesack不等式：$
$对于正实数a，b，c有$
$\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}\cdot \frac{a ^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
$④Klamkin不等式：$
$对于正实数a，b，c有：$
$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+bc}} \geq\frac{3\sqrt{2}}{2}$
评论区太乐了受不了了
第一个不也是柯西吗(柯东doge)
那不妨再来个积分柯西
黑米尔德这么好用不写😋
可以，明天我给他补上
注：乱码是
$a_1^2 \geq \sum_{i=2}^n a_i^2，b_1^2 \geq \sum_{i=2}^n b_i^2$