物理

[论坛资料室]质心(重心)的性质及应用

(此为上篇)$$$$$$$$

(10.4还在改帖，大家就当没看到)声明:

本帖中的质心仅指物理上的质心，莫误解。

鉴于是帖主第一次发帖，还是学术贴，还请佬们多多包涵~

补充的一些内容可以移至评论区，我会在那里发出来

以下是正文↓

1.关于质心(重心)

同学们都知道重心吧，那是重力的等效作用点。同样，质心可以被看作为物体质量集中的一点。这时，质点系的问题就可以被化归为更简单的问题解决啦。由此可见，引入质心的概念在解决一些较复杂问题时有着天然的优势.质心是贯穿力学的枢纽，掌握其性质可大幅提高解题效率。质心一般用$C$或$cm$($Center~of~mass$)表示，相关的物理量加角标如$a_C$(质心加速度),$E_{k_C}$(质心动能)等。(这里说一句，质心动能$E{k_C}=\frac{1}{2}Mv_C^2$.这里$M$是系统总质量，因为我们认为系统总质量集中在质心一点上。)

注意：关于质心和重心： 很多人会把这两者混为一谈，这当然不对噢。质心是质量$m$为权重进行加权后的结果，而重心是以重力$mg$进行加权后的结果。如果刚体尺寸不大，则可以认为质心和重心是重合的，但若是物体尺寸很大，则各处重力加速度并不相同，两点必然分离。例如如果以后有人要造一条从地面到太空的电梯，那么这一个问题就不可忽略了。这里对于我们所讨论的问题,即匀强重力场中来说质心就是重心。        

2.质心求法

1质量离散分布:杠杆定理或公式            (这里就指质点系)

          ①两个质点$A~B$质量分别为$m_1~m_2$,则质心C的位置在杠杆$\overline{AB}$平衡的支点处，满足

       $m_1\cdot\left|{AC}\right|=m_2\cdot\left|{BC}\right|$

          ②同样用力矩平衡可以导出以下这些

$ n $ 个质点，质量为 $ m_i $，位置矢量为 $\vec{r_i}=(x_i, y_i, z_i) $

质心坐标：则$\vec{r_{cm}}=\frac{\sum m_i \vec{r_i}}{\sum m_i}$

$x_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i},\quad$

$y_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i},\quad$

$z_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i z_i}{\sum m_i}$

即：加权平均位置

 2.质量连续分布

若物体具有对称性（如均匀圆盘、球体、杆等），则质心位于对称中心。

常见几何体的质心

| 物体 | 质心位置 |

|------|----------|

| 均匀细棒 | 中点 |

| 均匀圆环 | 圆心 |

| 均匀圆盘 | 圆心 |

| 均匀三角形 | 三条中线交点（重心） |

| 均匀半圆弧 | 对称轴上，距圆心 $\dfrac{2R}{\pi}$ |

| 均匀半圆盘 | 对称轴上，距圆心 $\dfrac{4R}{3\pi}$ |

| 均匀球体 | 球心 |

| 均匀锥体 | 高的 $\dfrac{1}{4}$ 处（从底面算起） |

| 均匀四面体 | 各顶点到对面重心连线交点 |

如果不是这些很规则的物体，或是题目要我们求的话，我们有以下几种方法

1暴力积分

设质量密度为 $\rho(\vec{r}) $，总质量 $M =\int dm$

一般形式：

$\vec{R}_{\text{cm}} =\frac{1}{M}\int\vec{r} dm$

 分量形式：

- 一维（细棒)

设 $ n $ 个质点，质量为 $m_i $，位置为 $ (x_i, y_i, z_i) $

  $x_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\int x , \lambda(x), dx$

  （$\lambda$：线密度）

- 二维（薄板）：

  $x_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \iint x ,\sigma(x,y), dA,\quad$

  $y_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \iint y , \sigma(x,y), dA$

  （$\sigma$：面密度）

- 三维（实体）：

  $x_{\text{cm}}=\frac{1}{M} \iiint x , \rho(x,y,z), dV$

 提示：若形状不规则，可用“割补法”或“对称+积分”求解。

其实上面的这些要是不会用的话，可以看下面↓↓↓

          2.巴普斯定理

巴普斯定理（Pappus's Centroid Theorem）

> 该定理由古希腊数学家 巴普斯(帕普斯)（Pappus of Alexandria）提出，分为两个部分：

定理一：体积公式

当一个平面图形绕其所在平面内一条**不与之相交的轴**旋转一周时，所生成的旋转体的体积等于：

 $V = A\cdot d$

其中：

$A$：平面图形的面积

$d$：该图形**质心**在旋转过程中所经过的路径长度（即圆周长）

$d = 2\pi r_{\text{cm}} $，$ r_{\text{cm}}$ 是质心到旋转轴的距离

 即：体积 = 面积 × 质心轨迹长度

定理二：侧面积公式

当一条平面曲线绕其所在平面内一条不与之相交的轴旋转一周时，所生成的旋转曲面的侧面积为：

$S = L \cdot d$

其中：

 $ L $：曲线的长度

 $ d = 2\pi r_{\text{cm}} $：曲线质心在旋转过程中走过的路径长度

 即：侧面积 = 弧长 × 质心轨迹长度

 要注意：

 - 旋转轴不能穿过图形或曲线（否则会破坏“单值性”）

 - 图形或曲线必须在同一平面内

 - 旋转角度为 $ 360^{\circ} $（完整一圈）

 核心思想总结

| 定理 | 对象 | 公式 | 关键点 |

|------|------|-------|--------|

| 巴普斯第一定理 | 平面图形 | $ V = A\cdot (2\pi r_{\text{cm}}) $ | 体积 = 面积 × 质心转过的圆周长 |

| 巴普斯第二定理 | 平面曲线 | $ S = L\cdot (2\pi r_{\text{cm}}) $ | 侧面积 = 弧长 × 质心转过的圆周长 |

巴普斯定理的局限性

| 局限 | 说明 |

|------|------|

| ❌ 不能用于自交图形 | 如8字形，旋转后会有重叠 |

| ❌ 不能用于轴穿过图形 | 否则体积或面积无法定义 |

| ❌ 不能用于非完整旋转 | 如只旋转 $180^{\circ}$，需调整 |

| ❌ 不适用于三维图形 | 只适用于二维平面图形/曲线 |

运用这个定理，我们可以很方便地求体积和侧面积，更重要的是我们在这里可以快捷地算出一些物体质心的位置，就像这个

(1)半径为R的匀质半圆环，求质心到圆心O的距离

(2)半径为R的匀质半圆环，求质心到圆心O的距离

          3.微元法(法1的低配版)

这个就需要个人的硬实力了，常见又有以下几种：

A.微分+小量分析

B.化静为动，用力学方法求解

这里推荐去做一下题库里面ID3894～3093还挺有意思的

关于质心位置，有一点是很重要的，就是质心位置变化规律不依赖于参考系（但需注意惯性系）

质心的位置是相对的，但在不同惯性系中，其运动规律一致。在非惯性系中需引入惯性力。

这启示我们有时候可选择质心系，这在碰撞等问题中确实大有用处。

3.静力学中的质心

 🔹 核心思想：

- 重力作用在质心上（等效）

- 平衡条件：合外力为零，合外力矩为零

- 稳定平衡 ⇨ 质心最低

1. 重力矩计算：

   - 若物体绕某点转动，重力矩为 $\vec{\tau}= \vec{r}_{\text{cm}}\times M\vec{g}$

   - 其中 $\vec{r}_{\text{cm}} $ 是质心相对转轴的位置矢量

2. 稳定平衡判据：

   - 支点在质心正下方 → 稳定

   - 支点偏离 → 可能翻倒

4.动力学中的质心

 质心运动方程(也叫质心运动定律)：

   $M\vec{a}_{\text{cm}} =\vec{F}_{\text{ext}}$

   其中$\vec{F}_{\text{ext}}$表示质点系所受到的合外力，也可以说是各质点受外力的矢量和。

    此式是牛顿第二定律对多体系统的推广，是质点系牛顿第二定律的另一种形式，它们之间可以相互推出(在评论区发了)

该式表明质心的运动只与外力有关

即：整个系统的质心加速度等于系统所受合外力除以总质量

 这意味着：内力不影响质心的运动！

应用：在下篇会详细讲的在爆炸问题、碰撞问题中，即使内部发生剧烈变化，只要没有外力，质心保持匀速直线运动或静止。

🔹 核心思想：

- 质心代表整体运动

- 内力不影响质心运动

有时会用到这个公式： 质心速度：

     $\vec{v}_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{M}$

下面是一个很有意思的问题：变质量问题 —— 沙漏

> 一个沙漏装置放在光滑水平面上，沙子从上部慢慢流到下部。问：整个系统的质心如何运动？

分析：

- 系统无外力（忽略重力支持力，仅考虑水平方向）

- 沙子流动是内力 → 不影响质心运动

- 初始静止 → 质心始终静止尽管沙子向下移动，但上部空了，下部加重，整体质心不动

 例题 ：人走木板问题（经典题）大家应该都做过，可是应该没几个人想着用质心做吧

一个质量为 $m$ 的人站在质量为 $M$ 的小船尾部，船长 $L$，静止在湖面上。人走到船头，求船后退的距离。

- 水面光滑 → 无外力 → 质心不动

- 初始质心位置设为 0

设船后退距离为 $ x $，人相对地面前进 $ L - x $（因为船后退，人走动

质心

$m(L - x) + M(-x) = 0 \quad (\text{初始质心为0})$

$mL - mx - Mx = 0 \Rightarrow x = \frac{mL}{m + M}$

船后退 $\frac{mL}{m+M} $，人前进 $ L - \frac{mL}{m+M} = \frac{ML}{m+M} $

   例题 ：两人站在光滑冰面上，相距 $ L $，质量分别为 $ m_1, m_2 $。他们互相拉绳靠近，问谁移动得更远？

- 无外力 → 质心不动

- 设 $ m_1 $ 移动 $ x_1 $，$ m_2 $ 移动 $ x_2 $，则有：

 $m_1 x_1 = m_2 x_2\quad (\text{方向相反})$

 $ x_1 + x_2 = L\Rightarrow x_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} L,\quad x_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2}L$

- 质量小的人移动得更远。

技巧总结

| 技巧 | 说明 |

|------|------|

| 1. 利用质心守恒 | 无外力时，质心位置或速度不变，可用于求位移、速度等 |

| 2. 分离运动 | 将总动能分为质心动能 + 相对动能，简化计算 |

| 3. 对称性判断 | 利用对称性快速确定质心位置 |

| 4. 变质量系统 | 若无外力，质心仍遵循动量守恒 |

| 5. 非惯性系 | 注意惯性力对质心的影响|

 五、常见误区提醒

1. ❌ 质心不一定在物体上（如圆环、空心球）

2. ❌ 内力可以改变单个物体的运动，但不能改变质心运动

3. ❌ 质心速度 ≠ 任意一点的速度

4. ❌ 不能把质心当作“有效质量点”随意代入所有公式（比如转动惯量）

5. ❌ 正如前所述，不要把质心和重心弄混了

拓展思考

- 在相对论中，质心概念需要修正（涉及四维动量）

- 在电磁场中，电磁动量也会影响质心运动（高级内容）

- 多体问题中，质心坐标变换可大大简化方程（拉格朗日力学）

帖主对这些中间的有些概念还是一知半解，就不再展开了。

下篇我会多一些刚体，能动量相关的内容，也会把一些这里留下来的坑填了

$\Huge{To Be Continued}$