物理 [论坛资料室]质心(重心)的性质及应用
(此为上篇)$$$$$$$$
()声明:
- 本帖中的质心仅指物理上的质心，莫误解。
- 鉴于是帖主第一次发帖，还是学术贴，还请佬们多多包涵~
- 想看证明的可以移至评论区，我会在那里发出来
以下是正文↓
1.关于质心(重心)
- 同学们都知道重心吧，那是重力的等效作用点。同样，质心可以被看作为物体质量集中的一点。这时，质点系的问题就可以被化归为更简单的问题解决啦。由此可见，引入质心的概念在解决一些较复杂问题时有着天然的优势.质心是贯穿力学的枢纽，掌握其性质可大幅提高解题效率。质心一般用$C$(Center of mass)表示，相关的物理量加角标如$a_C$(质心加速度),$E_{k_C}$(质心动能)等。(这里说一句，质心动能$E{k_C}=\frac{1}{2}Mv_C^2$.这里M是系统总质量，因为我们认为系统总质量集中在质心一点上。)
- 注意：关于质心和重心： 很多人会把这两者混为一谈，这当然不对噢。质心是质量m为权重进行加权后的结果，而重心是以重力mg进行加权后的结果。如果刚体尺寸不大，则可以认为质心和重心是重合的，但若是物体尺寸很大，则各处重力加速度并不相同，两点必然分离。例如如果以后有人要造一条从地面到太空的电梯，那么这一个问题就不可忽略了。这里对于我们所讨论的问题,即匀强重力场中来说质心就是重心。 (这里指出问题感谢@NOX
2.质心求法
- 1.质量离散分布:杠杆定理或公式 (这里就指质点系)
- 2,质量连续分布
例一：
- 2.连续分布:方法(1)暴力积分$r_C$=$\frac{\int r dm}{M}$
- 不要被介个公式吓住了，看不懂的下面有简便方法。
- 1.质量线分布物体：绕某个轴旋转一周得到的旋转体表面积等于质心转动的路程与物体周长之积；
- 2.质量面分布物体：绕某个轴旋转一周得到的旋转体体积等于质心转动的路程与物体面积之积.
- 另外提一句，该定理也可以用来求旋转体体积或表面积，应用也很广泛。
- (1)均匀半圆环总质量为$m$,半径为$R$,求质心$C$到圆心$O$距离；
- (2)均匀半圆盘总质量为$m$,半径为$R$,求质心$C$到圆心$O$距离.
4.动力学中应用：
$F_{合外}=Ma_C$(与系统内力无关)各质点所受力的矢量和，等于系统总质量与质心加速度之积。
例 3
- 1
证明(2)巴普斯定理证明[傻瓜版♿♿♿]
将任意形状的线分布物体y=f(x)绕x轴旋转一周，得到一个空心立体图形，它的侧面积微元为$dS=2\pi ydl$因此总侧面积$S=\int2\pi ydl$,因此
$\int ydl=\frac{S}{2\pi}$. ①
又因为质心公式$y_C=\frac{\int ydm}{\int dm}=\frac{y\lambda dl}{\int\lambda dl}=\frac{\int ydl}{L}$. ②
(其中$\lambda$为质量的线密度$\lambda=\frac{m}{L}$表示单位长度的质量)
①②联立得$S=L\cdot2\pi y_C$ ③
继续，边界线方程$y=f(x)$的面分布物体绕x轴旋转一圈，得到一个实心立体图形，体积微元为$dV=2 \pi y dS$,其中$dS$为旋转前从该物体上截取下的面积微元，总体积$V=\int2\pi y\cdot dS$,因此
$\int ydS=\frac{V}{2\pi}$. ④
又质心公式为$y_C=\frac{\int ydm}{\int dm}=\frac{\int y\sigma dS}{\int\sigma dS}=\frac{\int ydS}{S}$
即$\int ydS=Sy_C$. ⑤
比较④⑤可得
$V=S\cdot2\pi y_C$. ⑥
③⑥两式即巴普斯定理，究其根本还是由原始的积分推出来的。