物理

索末菲原子模型

完结撒花～

8.26 更了相对论情形并修改了之前的错误 如还有问题恳请指出

发现没什么么人提近代 于是提一嘴 算是为这破坛做点贡献吧

难度1.5轮吧 学了一轮的应该就能看懂了

一、索末菲模型引出的必然性

根据玻尔原子模型，我们可以算出任一原子在任意两能级间跃迁发出的辐射波长。以最常见的氢原子巴尔末系为例，$H_α$线的波长约为656.3nm。不过人们逐渐发现$H_α$线实际上由三条挨得很近的谱线构成，而玻尔原子模型对此完全无法解释。

玻尔为了圆回理论，提出了椭圆轨道进动的可能性。1915年，索末菲在这个可能性的基础之上，提出了索末菲原子模型（包括了相对论情况）来解释光谱的精细结构，与实验符合得很好。

值得一提的是，索末菲模型是旧量子论下对精细光谱的极限修正。现如今人们发现$H_α$实际上由七根谱线构成，人们引入了新理论用以修正，有兴趣的可以查查资料。

二、推导

我们要首先了解索末菲是怎么修正的。玻尔理论认为，电子轨道角动量是量子化的，即$L=n\hbar$，其中$\hbar$为约化普朗克常数，n为任意正整数。而索末菲在此基础上提出了索末菲量子化条件：$∮pdq=nh$，其中p为粒子的广义动量，q为粒子的广义坐标，n是与（p，q）对应的量子数。对于我们感兴趣的情况，显然应用极坐标描述粒子运动，此时可写出径向与角向分别满足的量子化条件：$∮p_rdr=n_rh$,$∮Ldθ=n_θh$。考虑到粒子角动量守恒，则有$L∮dθ=n_θh$⇒$L=n_θ\hbar$。可以看出，后者正是玻尔理论中的角动量量子化条件，所以索末菲量子化假设是自然的。

（1）非相对情形

（2）相对论情形