物理

[TINY NSD]电磁学和一点点非常基础的电动力学（续集3）

第九章 电磁场基础

我们再回到当初提过的电势与磁矢势，由Maxwell方程，总有${\nabla \cdot \mathbf{B}=0}$，磁矢势的定义可以保持不变

但加入磁场的时变项后，电场的旋度不再为0，从而电势的定义需要修改

注意到${\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial(\nabla\times \mathbf{A})}{\partial t}=-\nabla \times\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}}$

（最后一步是互换偏导数，可以证明，此处从略）

从而${\nabla \times(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t})=0}$，故括号内的内容可以写成标量场的梯度

为与静电场中的电势加以区别，我们将其负值称为电标势

即${-\nabla\phi=\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}}$

方便起见，以下所有内容均在线性均匀介质中进行讨论

此时${\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial(-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t})}{\partial t}=-\epsilon (\nabla \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2})}$

而${\nabla \times\mathbf{H}=\frac{\nabla\times \mathbf{B}}{\mu}=\frac{\nabla \times (\nabla\times \mathbf{A})}{\mu}=\frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}}{\mu}}$

由Maxwell方程组，${\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}}$

代入得${\nabla (\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2 \mathbf{A}=\mu [\mathbf{j}-\epsilon (\nabla\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2})]}$

整理得${-\mu \mathbf{j}=\nabla^2\mathbf{A}-\mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}-\nabla (\mu\epsilon\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A})}$

引入达朗贝尔算子${\Box}$（有时也被写为${\Box^2}$）：

${\Box=\nabla^2-\mu\epsilon\frac{\partial^2}{\partial t^2}}$

引入洛伦茨规范函数$L$：

${L=\mu \epsilon\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A}}$

从而安培-麦克斯韦定律可以被写成如下的形式：

${-\mu \mathbf{j}=\Box \mathbf{A}-\nabla L}$

再观察电高斯定律：

${\rho=\epsilon \nabla \cdot (-\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t})=\epsilon [-\nabla^2\phi-\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{A})}{\partial t}]}$

为了保持形式上的相似，配凑一项：

${\rho=\epsilon [-\nabla^2 \phi+\mu\epsilon \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\mu \epsilon \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{A})}{\partial t}]}$

${=\epsilon [-\Box \phi-\frac{\partial (\mu\epsilon \frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A})}{\partial t}]=-\epsilon(\Box \phi+\frac{\partial L}{\partial t})}$

以上就是电磁势形式的电磁场基本规律（Maxwell方程）

由于${\mathbf{A}}$和${\phi}$不是唯一的，我们可以通过适当选取，简化方程，通常我们会对${\nabla \cdot \mathbf{A}}$的值加以限制

选取的方法被称为规范，以下给出两种常见规范下电磁场基本规律的形式：

①库仑规范，${\nabla \cdot \mathbf{A}=0}$

得到${-\frac{\rho}{\epsilon}=\Box \phi+\mu\epsilon \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}}$

${-\mu \mathbf{j}=\Box \mathbf{A}-\mu\epsilon \nabla \frac{\partial \phi}{\partial t}}$

②洛伦茨规范，${\nabla \cdot \mathbf{A}=-\mu\epsilon \frac{\partial \phi}{\partial t}}$，即${L=0}$

得到${-\Box \phi=\frac{\rho}{\epsilon}}$，${-\Box \mathbf{A}=\mu \mathbf{j}}$

可以看到，在洛伦茨规范下，电场与磁场呈现解耦合的状态，分别只与${\rho}$和${\mathbf{j}}$相关

若${\rho=0, \mathbf{j}=0}$，则${\Box \phi=0, \Box \mathbf{A}=0}$

对波动有一定了解的可以知道，这就是波动方程：

${(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})u=0}$

从而验证了电磁波的存在，并说明其在介质中传播的速率为${\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}}$

此外，科学家阿哈罗诺夫和玻姆发现，在空间中运动的电子，无论空间是否存在电磁场，只要有电标势和磁矢势，就可能会受到电磁作用

这一效应说明，相较于${\mathbf{E}，\mathbf{B}}$等物理量，电磁势${\phi, \mathbf{A}}$才是更为基本的描述电磁场的量

由于两位科学家的名字首字母为A和B，而这两个字母又恰好是磁矢势和磁感应强度的符号，因此这一效应被称为A-B效应

关于电磁势的补充到此为止，接下来从另一个角度探讨电磁场

从近代物理的观点来看，电磁场也是一种特殊的物质，其也具有能量，动量和角动量

下面我们将用${\mathbf{E}, \mathbf{D}, \mathbf{H},\mathbf{B}}$等物理量对其进行表示

空间区域$V$内电磁场中的能量转化有两种途径：流出区域或传递给区域内实物粒子

对于流出区域的能量，我们用能流密度${\mathbf{S}}$表示（为与面积矢量区分，以下将面积矢量记为${\mathbf{s}}$）

则流出区域$V$的能流为${\oiint_{\partial V} \mathbf{S} \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}}$

而电磁场通过洛伦兹力对实物粒子做功

（高中说洛伦兹力是磁场给带电粒子的作用力，错了。实际上电场对带电粒子的作用力也被包含在内，因此完整的洛伦兹力公式为${\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})}$，而非只有后半部分）

定义洛伦兹力密度${\mathbf{f}}$使${\sum_V \mathbf{L}=\iiint_V \mathbf{f} \mathrm{d} V}$

由于${q=\iiint_V \rho \mathrm{d} V}$，有${\mathbf{f}=\rho (\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})=\rho\mathbf{E}+\mathbf{j} \times \mathbf{B}}$

其在$V$内的功率为${\iiint_V\mathbf{f} \cdot \mathbf{v} \mathrm{d} V}$

设$V$内电磁场的能量为$W$，定义能量密度$w$使${\iiint_V w\mathrm{d}V=W}$

则${-\frac{\partial W}{\partial t}=\oiint_{\partial V}\mathbf{S} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}+\iiint_V \mathbf{f}\cdot \mathbf{v} \mathrm{d} V}$

由高斯定理，易写出其微分形式：

${-\frac{\partial w}{\partial t}=\nabla\cdot \mathbf{S}+\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}}$

这一结论最早由科学家坡印亭得出，因此称为坡印亭定理

问题来了：我们应该怎样求出${w}$和${\mathbf{S}}$？

首先，我们对最后一项进行变形：

${\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v}=\rho \mathbf{E}\cdot \mathbf{v}+\rho (\mathbf{v} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{B}=\rho\mathbf{E} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{E} \cdot \mathbf{j}}$

（这之间用到了矢量混合积的性质，即${(\mathbf{a} \times\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot\mathbf{a}=(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}}$）

由Maxwell方程，${\mathbf{j}=\nabla\times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}}$

从而${\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{E}\cdot (\nabla \times \mathbf{H})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}$

而由第三章中提到的哈密顿算子的性质，有${\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=\mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E})+\nabla\cdot (\mathbf{H} \times \mathbf{E})=-\mathbf{H} \cdot \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}-\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})}$

又由介质均匀线性，${\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}，\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}}$

总有${\mathbf{H} \cdot\partial{\mathbf{B}}=\frac{1}{2}\partial (\mathbf{H} \cdot \mathbf{B})，\mathbf{E} \cdot \partial{\mathbf{D}}=\frac{1}{2}\partial (\mathbf{E}\cdot \mathbf{D})}$

故${\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}=-\nabla\cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{1}{2} \frac{\partial (\mathbf{H}\cdot \mathbf{B}+\mathbf{E} \cdot \mathbf{D})}{\partial t}}$

与前式对比，可得能量密度${w=\frac{1}{2}(\mathbf{H}\cdot \mathbf{B}+\mathbf{E} \cdot \mathbf{D})}$，能流密度${\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H}}$

为纪念前述科学家坡印亭，将能流密度称作坡印亭矢量

对于动量，需要一些更为复杂的讨论

为使动量流密度的曲面积分为动量流（显然是矢量），定义动量流密度为张量${\overleftrightarrow{T}}$，并称其负值为Maxwell应力张量（即表示单位时间单位面积流入区域的动量）

则动量流为${\oiint_{\partial V}\overleftrightarrow{T} \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}}$

而由动量的定义，单位时间内向实物粒子传递的动量即为洛伦兹力

从而${-\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}=\oiint_{\partial V}\overleftrightarrow {T} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}+\iiint_V \mathbf{f} \mathrm{d} V}$

定义动量密度${\mathbf{g}}$使${\mathbf{p}=\iiint_V \mathbf{g} \mathrm{d} V}$

这样我们写出了动量定理的积分形式

为得到对应的微分形式，我们需要补充二阶张量的散度

在第六章中，我们定义了张量左乘矢量，这里定义张量右乘矢量

对于矢量场${\mathbf{G}}$，我们定义${(\mathbf{G}\overleftrightarrow{T})_i=\sum_{j=1}^3{G_jT_{ji}}=G_jT_{ji}}$

这里为了方便，将${x, y, z}$分别用1，2，3表示

最后一步是求和约定，省略求和记号，$j$为哑元

将其视为张量右乘矢量

类似定义二阶张量的散度：${(\nabla\cdot\overleftrightarrow{T})_i=\partial_jT_{ji}}$

其中${\partial_j=\frac{\partial}{\partial x_j}}$

可以看出，二阶张量散度为矢量

对于二阶张量，高斯定理仍然成立，即${\iiint_V (\nabla\cdot\overleftrightarrow{T}) \mathrm{d} V=\oiint_{\partial V}\overleftrightarrow{T}\mathrm{d} \mathbf{s}}$

于是可以得到动量定理的微分形式：${-\frac{\partial\mathbf{g}}{\partial t}=\nabla \cdot \overleftrightarrow{T}+\mathbf{f}}$

预警：接下来会有一些复杂的推导，想要看结果的移步后面

首先，我们推导矢量三重积的展开式：

${(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\times\mathbf{c}=[(a_2b_3-a_3b_2)\hat{x_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\hat{x_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\hat{x_3}]\times\mathbf{c}}$

${=[(a_3b_1-a_1b_3)c_3-(a_1b_2-a_2b_1)c_2]\hat{x_1}+[(a_1b_2-a_2b_1)c_1-(a_2b_3-a_3b_2)c_3]\hat{x_2}+[(a_2b_3-a_3b_2)c_2-(a_3b_1-a_1b_3)c_1]\hat{x_3}}$

观察配凑可得

${[(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\times\mathbf{c}]_i=c_ja_jb_i-c_ja_ib_j}$

类似地，${[(\nabla \times \mathbf{a})\times\mathbf{b}]_i=b_j\partial_ja_i-b_j\partial_ia_j}$

回到原题，前面提到${\mathbf{f}=\rho\mathbf{E}+\mathbf{j}\times \mathbf{B}}$

而${\mathbf{j} \times\mathbf{B}=(\nabla\times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t})\times \mathbf{B}}$

${=(\nabla \times \mathbf{H})\times\mathbf{B}-\frac{\partial (\mathbf{D} \times \mathbf{B})}{\partial t}+\mathbf{D} \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}$

${=(\nabla \times \mathbf{H})\times\mathbf{B}+(\nabla \times \mathbf{E}) \times\mathbf{D}-\frac{\partial(\mathbf{D} \times \mathbf{B})}{\partial t}}$

而${[(\nabla \times \mathbf{H})\times\mathbf{B}]_i=B_j \partial_jH_i-B_j\partial_iH_j=\partial_j(B_jH_i)-H_i(\partial_jB_j)-\frac{1}{2}\partial_i (B_jH_j)}$

由磁高斯定律，${\partial_j B_j=\nabla\cdot\mathbf{B}=0}$，

${\partial_i (B_jH_j)=\partial_i(\mathbf{B}\cdot \mathbf{H})}$，

故${[(\nabla \times \mathbf{H})\times\mathbf{B}]_i=\partial_j(B_jH_i)-\frac{1}{2}\partial_i (\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})}$

定义矢量的并矢运算：${(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}=A_iB_j}$，得到的结果${\mathbf{A}\mathbf{B}}$是二阶张量

则${\partial_j (B_jH_i)=[\nabla\cdot(\mathbf{B}\mathbf{H})]_i}$

而${\partial_i (\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})=\partial_k [\delta_{ki} (\mathbf{B} \cdot\mathbf{H})]=[\nabla\cdot (\mathbf{B} \cdot\mathbf{H})\overleftrightarrow{1}]_i}$

对各分量求和，即得${(\nabla \times \mathbf{H})\times\mathbf{B}=\nabla \cdot [\mathbf{B}\mathbf{H}-\frac{1}{2}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) \overleftrightarrow{1}]}$

类似地，${[(\nabla \times \mathbf{E})\times\mathbf{D}]_i =\partial_j(D_jE_i)-E_i(\partial_jD_j)-\frac{1}{2}\partial_i(D_jE_j)=[\nabla \cdot (\mathbf{D}\mathbf{E})]_i-\rho E_i-\frac{1}{2} [\nabla\cdot (\mathbf{D} \cdot \mathbf{E})\overleftrightarrow{1}]_i}$

对各分量求和，即得${(\nabla \times \mathbf{E})\times\mathbf{D}=\nabla \cdot [\mathbf{D}\mathbf{E}-\frac{1}{2}(\mathbf{D}\cdot\mathbf{E})]-\rho \mathbf{E}}$

综合以上各式，得${\mathbf{f}=\rho\mathbf{E}+\nabla\cdot [\mathbf{B}\mathbf{H}-\frac{1}{2}(\mathbf{B} \cdot\mathbf{H})\overleftrightarrow{1}]+\nabla\cdot[\mathbf{D}\mathbf{E}-\frac{1}{2}(\mathbf{D} \cdot\mathbf{E})]-\rho\mathbf{E}-\frac{\partial (\mathbf{D} \times \mathbf{B})}{\partial t}}$

${=-\frac{\partial (\mathbf{D}\times\mathbf{B})}{\partial t}-\nabla \cdot [\frac{1}{2}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}+\mathbf{D} \cdot\mathbf{E})\overleftrightarrow{1}-(\mathbf{B}\mathbf{H}+\mathbf{D}\mathbf{E})]}$

对比可得${\mathbf{g}=\mathbf{D}\times\mathbf{B}，\overleftrightarrow{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}+\mathbf{D} \cdot\mathbf{E})\overleftrightarrow{1}-(\mathbf{B}\mathbf{H}+\mathbf{D}\mathbf{E})}$

在得出动量守恒后，角动量守恒就非常简单了

给定位矢${\mathbf{r}}$的情况下，定义角动量密度${\mathbf{l}=-\mathbf{g} \times \mathbf{r}=\mathbf{r}\times\mathbf{g}}$

力矩密度${\mathbf{t}=-\mathbf{f}\times\mathbf{r}=\mathbf{r} \times \mathbf{f}}$

角动量流密度${\overleftrightarrow{R}=-\overleftrightarrow{T}\mathbf{r}}$（注意没有反交换律了）

即可写出角动量定理的微分形式和积分形式：

${-\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial t}=\oiint_{\partial V}\overleftrightarrow{R} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}+\iiint_V \mathbf{t} \mathrm{d} V}$

${-\frac{\partial \mathbf{l}}{\partial t}=\nabla \cdot \overleftrightarrow{R}+\mathbf{t}}$

以上就是有关电磁场的能量、动量、角动量的描述

当然，这只是电磁场的内容里面最基础的部分

实际上，我们整篇文章基本都没有分析位置变化带来的影响（如动生电动势等）

结合相对论的情况下，还有很多可讨论的内容，但这里就不深究了

至此，我们完成了从高中电磁学基础，到大学电动力学基础内容的跨度，而这也是我们整篇文章的结尾