物理

【数竞】对数函数

对数函数本人学的不算太好💦

先给自己打个广告😋

(这个不看也罢💦

目前只有整理的内容，进度30%？

还有很多没写的💦

那就，【正片开始】

先整理一下：$\sout{练习一下LaTeX(}$

换底公式推论：     $\log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c$

对数链式运算：     $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

对数倒数关系：     $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

指数对数复合：     $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

真数幂变换：     $\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b$

底数幂变换：     $\log_{a^c} b = \frac{1}{c} \log_a b$

复合底数处理：     $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$

对数不等式与比较

同底比较原则：    

$a \gt 1$ 时 $x \gt y \gt 0 \Rightarrow \log_a x \gt \log_a y$     

$0 \lt a \lt 1$ 时 $x \gt y \gt 0 \Rightarrow \log_a x \lt \log_a y$

跨底比较技巧：     

$\log_a b$ vs $\log_c d$ 可比较 $\frac{\ln b}{\ln a}$ 与 $\frac{\ln d}{\ln c}$

对数-常数比较：     

$\log_a b \gt k \iff \begin{cases} b \gt a^k & (a \gt 1) \\ b \gt a^k & (0 \lt a \lt 1) \end{cases}$

对数函数变换与应用

图象平移伸缩：     $y = \log_a (mx + k) + b$

反函数复合：     $f^{-1}(f(x)) = \log_a (a^x) = x$

对数微分法：     $\frac{d}{dx} \ln|f(x)| = \frac{f'(x)}{f(x)}$

对数换元解方程：     解 $a^{2x} + p \cdot a^x + q = 0$ 令 $t = a^x$

增长速率比较：     $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad (a \gt 0)$

实际应用模型，放几个简单的😋

分贝计算公式：     $D = 10 \lg \left( \frac{I}{I_0} \right)$

pH值计算：     $\text{pH} = -\lg [\text{H}^+]$

里氏震级公式：     $M = \lg I - \lg I_0$

对数坐标系：     半对数坐标系中指数函数呈直线

特殊值与运算技巧

常用对数值：     $\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$，$\lg 5 = 1 - \lg 2\approx 0.6990$

自然对数转换：     $\ln x \approx 2.3026 \lg x$

乘积快速计算：     $\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b$

指数提取技巧：     $\log_a (b^c \cdot d^e) = c \log_a b + e \log_a d$

注意！我们伟大而又简单的换底公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 是核心工具；

解对数方程必须验根（真数>0，底数>0且≠1）！

比较大小优先化同底或同真数；

含参问题需分类讨论底数 a>1 和 0<a<1 两种情况👀

复合函数注意定义域变化（如 $\log_a (f(x))$ 要求 $f(x) \gt 0$）