物理 浅谈泰勒展开
来啦！梦到什么更什么😎
泰勒展开的基本形式：
对于一个在点$x = a$处具有任意阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开的一般形式为：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$
写成求和的形式：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
其中$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$x = a$处的$n$阶导数。
泰勒展开的核心思想是通过函数在某一点的各阶导数值来构建一个多项式，这个多项式在该点附近与原函数有相同的值和各阶导数值。因此，这个多项式可以在该点附近很好地逼近原函数。
零阶项$f(a)$：这是函数在点$x = a$处的值，它保证了多项式和函数在该点有相同的值。
一阶项$f'(a)(x-a)$：这是函数在点$x = a$处的切线方程，它保证了多项式和函数在该点有相同的斜率。
二阶项$\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$：这进一步保证了多项式和函数在该点有相同的曲率。
更高阶项：继续保证多项式和函数在该点有相同的更高阶导数值。
接下来就来介绍一下泰勒展开的余项
泰勒展开通常会有一个余项$R_n(x)$，表示泰勒多项式与原函数之间的差异。余项的形式有多种,我们硝穴2年级学过的拉格朗日形式和柯西形式就是其中之二😇。
拉格朗日余项：
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
其中$\xi$是介于$a$和$x$之间的某个值。
柯西余项：
$(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$
下面来说一下泰勒展开的应用
泰勒展开在数学和工程中有广泛的应用，包括但不限于：
函数逼近：用多项式来逼近复杂的函数，简化计算。
误差估计：通过余项来估计泰勒多项式的逼近误差。
极限计算：利用泰勒展开来简化极限的计算。
数值分析：在数值解微分方程、插值和拟合等问题中应用。
炸飞油菜：利用泰勒展开油炸油菜（嘎嘎香😋）。
下面是一些常见函数的泰勒展开形式：
指数函数：$e^x$在$x = 0$处的泰勒展开：
$e^x = + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^}{!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
正弦函数：$\sin(x)$在$x = 0$处的泰勒展开：
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
余弦函数：$\cos(x)$在$x = 0$处的泰勒展开：
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
All in all，这个硝穴二年级定理是一个强大的数学工具，必要时可以救命😋
当然，炸油菜也是肥肠香😋
共2条回复
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和数学过一辈子
1月前
泰勒公式推导来啦！😋着急赶作业，可能有错误
一阶泰勒公式
我们从最简单的情况开始，即一阶泰勒公式：
$f(x) \approx f(a)'(a)(x-a)$
这个公式可以通过函数在点$x = a$处的值和一阶导数值来逼近函数在$x$处的值。
二阶泰勒公式
接下来考虑二阶泰勒公式：
$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$
为了得到这个公式，我们希望找到一个二次多项式$P_2(x)$，使得：
1.$P_2(a) = f(a)$
2.$P_2'(a) = f'(a)$
3.$P_2''(a) = f''(a)$
设$P_2(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2$，则：
$P_2(a) = A = f(a)$
$P_2'(x) = B + 2C(x-a)$，因此$P_2'(a) = B = f'(a)$
$P_2''(x) = 2C$，因此$P_2''(a) = 2C = f''(a)$，解得$C = \frac{f''(a)}{2}$
因此，我们得到：
$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$
n阶泰勒公式
类似地，我们可以推广到 n 阶泰勒公式。设$P_n(x)$为 n 次多项式：
$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
我们希望$P_n(x)$满足：
$P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) \quad \text{} \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$
通过类似的步骤，可以验证$P_n(x)$确实满足上述条件。