物理

全世界最简单的积分速成教程——第一期 积分起源

(虽然水，但是也在o-box区哦，切莫水评)

(当然如果实在觉得我水的话可以让我换分区)

如题，这又是一个水的要命的新坑，主要面向新手轮同学

(主要是我也出不了什么学术含量高的💦)

但是对于读者还是有一点数学基础的要求的：知道六个初等函数，会求导

(如果新手轮同学不会可以考虑出一个第零期乃至第负一负二期)

有了这些，我们就可以发车了😏

首先我们邀请我的一位好同学(虽说没有征得他的同意)小唐友情出演，他将会是接下来我讲的一系列故事的主角

小唐在小学一年级的时候，学会用直尺了，于是他十分高兴，拿直尺去测测这个，量量那个，突然，他看到了一个盘子，他高兴地将直尺比在盘子上，想要测盘子周长，结果他发现——直尺太长了

小唐有点败兴，于是去找他的老师，问怎么用直尺测盘子的周长，老师原本想要回答先测半径然后算周长的，但是一想这个已经是小学二年级(在这儿等着呢)的知识了，为了不超纲，老师决定换一种方法教小唐

老师把小唐带到了学校操场，让小唐用直尺测出操场弯道的长度，小唐觉得这还不简单，拿个直尺测了一下午终于测出来了，他兴冲冲地跑到老师那儿告诉老师结果，老师笑着点了点头，然后告诉小唐：你其实已经会测盘子的周长了

小唐：？

老师：你把操场弯道缩小一下看看？

小唐恍然大悟：也就是说，我只要拿一把非常小的直尺来量盘子的周长，就可以把盘子的周长给测出来了？

老师：也就是？

小唐：也就是只要把盘子的周长切成无数个小线段，再把这些小线段的长度累加起来就行了？

老师：孺子可教也🤓👍

于是小唐高兴地去试了，不一会儿就又回来了，因为他除了会把盘子的周长切开，剩下的就不会了

老师：你要尝试着用一种映射的思想

小唐：也就是说，把每一段极小的周长对应到另一个变量？

老师：那么可以是什么变量呢？

小唐：圆心角？

老师：Exactly.在此之前，我们引入一个符号$d$，它表示将一个东西切成一小份，例如如果周长为$L$，那么一小段周长就是$dL$，相对应的圆心角也可以记作$d\theta$，现在你会推导$dL$和$d\theta$的关系吗？

小唐脱口而出：可以把这个$d\theta$对应的扇形看做是一个腰为半径$R$，底边为$dL$，顶角为$d\theta$的等腰三角形，然后就有$dL=2R\sin\frac{d\theta}{2}$

老师：是的，但是我们补充一点，对于$\sin x$，如果$x$无限趋近于$0$，则有$\sin x=x$，并且此处要使用弧度制

小唐：也就是，在这种情况下，由于$dL$极小，相应地，$d\theta$也会极小，则有$dL=2R\sin\frac{d\theta}{2}=2R\frac{d\theta}{2}=Rd\theta$

老师：接下来就是？

小唐：加起来

老师：为此我们引入一个记号积分$\int$，它就是一个“累加”的意思，例如将$dL$累加就记作$\int dL$，特殊地，如果你想体现$L$的初始和结束，你可以在积分号的下端标注$L$初始为多少(此处为$0$)，在积分号的上端标注$L$最后是多少(此处就是$L$)，然后对于$dL$，把它累加起来，就可以记作$\int_0^L dL$，然后你对刚刚那个式子左右两端积分就是？

小唐：$\int_0^L dL=\int_0^{2\pi} Rd\theta$

老师：恭喜你，你已经半只脚踏入了积分的大门

小唐：那么怎么把这些积分式算出来呢？

老师：敬请期待下一期😋