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### 1. 函数与极限

#### 一. 函数极限（3解）

##### (一) 定义

\textcolor{red}{定义 1} 设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $ A $，对于任意给定的正数 $ \varepsilon $（不论它多么小），总存在正数 $ \delta $，使得当 $ x $ 满足不等式 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时，对应的函数值 $ f(x) $ 都满足不等式

\[ |f(x) - A| < \varepsilon, \]

那么常数 $ A $ 就叫做函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记作

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \, (\text{当 } x \to x_0). \]

\textcolor{green}{这很抽象。下面进行翻译：}

在函数中，我们总可以沿 $ f(x) $ 这一条线趋近某一点，并在 $ y $ 方向达到任意精度。（只要 $ x $ 方向精度足够高）

\textcolor{blue}{这一说法仅在 $ f(x) $ 连续时成立，$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) = A.$}

（物理里有不连续的吗？）

### 2. 无穷大与无穷小（略）

\textcolor{red}{详细定义不必展开，只解决小量近似中核心问题。}

##### (一) 阶数

物理中小量常用 $ dx $，$ dt $ 等表示（见下节）。

一般地，我们认为小量是一个单项式，其中阶数为这一单项式中 $ (dx) $ 的次数和。

##### (二) 大与小的相对性（关键）

这是关键。大、小有相对性。

e.g. $ (dx)^2 $ 与 $ dx \to (dx)^2 $ 相对于 $ (dx) $ 高阶，更小

$ dx $ 相对于 $ (dx)^2 $ 无穷大。

##### (三) 保留

一般情况下，算力留一阶，能量留二阶

（若无一阶无穷小，只需从最低阶开始向上保留二/一阶）

### 3. 导数与微分

#### 一. 导数

只讲“怎么导”“有什么用”的问题，有些推导真的不会。

##### (一) 定义、概念

\textcolor{red}{定义} 设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某个邻域内有定义，当自变量 $ x $ 在 $ x_0 $ 处取得增量 $ \Delta x $（点 $ x_0 + \Delta x $ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $；如果 $ \Delta y $ 与 $ \Delta x $ 之比当 $ \Delta x \to 0 $ 时的极限存在，那么称函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，并称这个极限为函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数，记为 $ f'(x_0) $，即

\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}, \]

也可记作 $ y' \bigg|_{x=x_0} $，$ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} $ 或 $ \frac{df(x)}{dx} \bigg|_{x=x_0}. $

\textcolor{green}{四个字：切线斜率。}

##### (二) 作用：求极值

当导数为 0 时，函数在此点切线水平。

只含有右图情况，即为极值点

\textcolor{blue}{极大} \qquad \textcolor{blue}{极小}

##### (三) 常见导数公式

方便起见，记 $ u $，$ v $ 为有关 $ x $ 函数，导数用 $ ' $ 表示。

1. 初等函数

\begin{aligned}

& (1) \ (C)' = 0 & & (2) \ (ku)' = ku' & & (3) \ (x^u)' \, (u \in \mathbb{R}) = ux^{u-1} \\

& (4) \ (a^x)' = a^x \ln a & & (5) \ (\log_a x)' = (x \ln a)^{-1}. \\

& (6) \ (\sin x)' = \cos x & & (7) \ (\cos x)' = -\sin x \\

& (8) \ (\tan x)' = (\cos x)^{-2}. & & (9) \ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}

\end{aligned}

2. 基本初等函数四则运算法则

\textcolor{red}{定理 1} 如果函数 $ u = u(x) $ 及 $ v = v(x) $ 都在点 $ x $ 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 $ x $ 具有导数，且

\begin{aligned}

(1) \ [u(x) \pm v(x)]' &= u'(x) \pm v'(x); \quad \text{(线性)} \\

(2) \ [u(x)v(x)]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x); \quad \text{(前导后不导+后导前不导)} \\

(3) \ \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \ (v(x) \neq 0). \quad \text{(上导下不导-下导上不导)} \quad \text{(分母$^2$)}

\end{aligned}

3. 复合函数求导法则

\textcolor{red}{定理 3} 如果 $ u = g(x) $ 在点 $ x $ 处可导，而 $ y = f(u) $ 在点 $ u = g(x) $ 处可导，那么复合函数 $ y = f[g(x)] $ 在点 $ x $ 处可导，且其导数为

\[ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}. \]

4. 反函数求导法则（3解）

\textcolor{red}{定理 2} 如果函数 $ x = f(y) $ 在区间 $ I_y $ 内单调、可导且 $ f'(y) \neq 0 $，那么它的反函数 $ y = f^{-1}(x) $ 在区间 $ I_x = \{ x \mid x = f(y), y \in I_y \} $ 内也可导，且

\[ [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \]

### 5. 隐函数、参数方程求导

##### (1) 隐函数

满足函数定义，满足 $ f(x, y) = 0 $ 同一类函数（不定方程解函数）。

- 直接化为一般函数

- 两端对 $ x $ 求导，注意对含 $ y $ 多项式求导需应用复合函数求导法则。 e.g. $ (y^2)' = 2y \frac{dy}{dx} $

##### (2) 参数方程

形如 $ x = f(t) $，$ y = g(t) $ 的函数，$ t $ 是参量。

\[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{f'(t)}{g'(t)}.} \]