物理 [TINY NSD]常微分方程基础

(来猜猜这文风是跟谁学的)
(公布答案:致敬Nature佬,但这种文风用得最出神入化的还是《微积分的故事》)
${\LARGE{\mathrm{Chapter~1}~从微积分说起}}$
你与微分方程的第一次相识,是在夏日午后的图书馆中。你觉得她似曾相识,但又说不清在哪里见过。好像是还在高中的时候,她曾出现在《函数与导数》的人群中。
而她微笑不语,只在纸上写下问题:
【例1】若${y=x}$,则${y'=?}$
果然不出所料,你想。凭借你在高中的记忆,你得到${y'=1}$。
“简单吧。”她笑着,笔尖继续飞动:
【例2】若${y'=1}$,则${y=?}$
是${y=x}$吗?当你告诉她你的结果时,她笑着摇了摇头:“错啦。”
错在哪里?她指着常用导数表中,一个不起眼的式子:${C'=0}$。
${(x+C)'=x'+C'=1+0=1}$……你思索着,突然意识到,这似乎很有道理。结果就应该是${y=x+C}$。
“那我们给它取个好听的名字吧,”她说,“就叫不定积分好了。y’是y的导数,y是y’的不定积分。”
她微笑着,而你看着纸上留下的一行字迹:
${y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} x},y=\int \mathrm{d} y=\int y'\mathrm{d}x}$。
“恭喜你,解出了你的第一个微分方程。要继续往前的话,先看看这些吧。”她从口袋中掏出一张卡片:
(1)${\int a\mathrm{d} x=ax+C}$;
(2)${\int x^n \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n \ne -1)}$;
(3)${\int e^x \mathrm{d} x=e^x+C}$;
(4)${\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x=\ln |x|+C}$;
(5)${\int \sin x \mathrm{d} x=-\cos x+C}$;
(6)${\int \cos x \mathrm{d} x=\sin x+C}$。
“就和你看到的导数表一样。”她补充说。你点点头。
“继续前进吧。”