[TINY NSD]常微分方程基...

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[TINY NSD]常微分方程基础

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江南风光好 更新于2025-8-5 09:56:56

(来猜猜这文风是跟谁学的)

(公布答案:致敬Nature佬,但这种文风用得最出神入化的还是《微积分的故事》)

${\LARGE{\mathrm{Chapter~1}~从微积分说起}}$

你与微分方程的第一次相识,是在夏日午后的图书馆中。你觉得她似曾相识,但又说不清在哪里见过。好像是还在高中的时候,她曾出现在《函数与导数》的人群中。

而她微笑不语,只在纸上写下问题:

【例1】若${y=x}$,则${y'=?}$

果然不出所料,你想。凭借你在高中的记忆,你得到${y'=1}$。

“简单吧。”她笑着,笔尖继续飞动:

【例2】若${y'=1}$,则${y=?}$

是${y=x}$吗?当你告诉她你的结果时,她笑着摇了摇头:“错啦。”

错在哪里?她指着常用导数表中,一个不起眼的式子:${C'=0}$。

${(x+C)'=x'+C'=1+0=1}$……你思索着,突然意识到,这似乎很有道理。结果就应该是${y=x+C}$。

“那我们给它取个好听的名字吧,”她说,“就叫不定积分好了。y’是y的导数,y是y’的不定积分。”

她微笑着,而你看着纸上留下的一行字迹:

${y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} x},y=\int \mathrm{d} y=\int y'\mathrm{d}x}$。

“恭喜你,解出了你的第一个微分方程。要继续往前的话,先看看这些吧。”她从口袋中掏出一张卡片:

(1)${\int a\mathrm{d} x=ax+C}$;

(2)${\int x^n \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n \ne -1)}$;

(3)${\int e^x \mathrm{d} x=e^x+C}$;

(4)${\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x=\ln |x|+C}$;

(5)${\int \sin x \mathrm{d} x=-\cos x+C}$;

(6)${\int \cos x \mathrm{d} x=\sin x+C}$。

“就和你看到的导数表一样。”她补充说。你点点头。

“继续前进吧。”

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25天前
其实我觉得这种文风倒很像我小时候看的《可怕的科学》
等联赛结束我也要搞学术帖了
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THREE TWO
25天前

nature