物理

[TINY NSD]电磁学和一点点非常基础的电动力学（续集2）

第八章 电路分析

这一章的内容会特别长，因为涉及了很多的内容

首先我们从欧姆定律开始

在只有静电力做功的情况下，总有${\mathbf{j}=\overleftrightarrow{\sigma}\mathbf{E}}$

其中${\overleftrightarrow{\sigma}}$为电导率张量，其逆被称为电阻率张量${\overleftrightarrow{\rho}}$

即${\overleftrightarrow{\sigma}\overleftrightarrow{\rho}=\overleftrightarrow{\rho}\overleftrightarrow{\sigma}=\overleftrightarrow{1}}$

等一下！这和我们熟悉的欧姆定律不一样啊？

没事，可以说明其与${U=IR}$是等价的，这里不作证明

在电源中，由于有非静电力做功，欧姆定律需要改写为${\mathbf{j}=\overleftrightarrow{\sigma}(\mathbf{E}+\mathbf{K})}$

其中${\mathbf{K}}$表示非静电力场，即单位电荷所受的非静电力

对于路径L，称电动势${\epsilon=\int_L\mathbf{K} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}}$

注意：由于非静电力场未必无旋，电动势可能与路径有关，严格地说，描述电动势时需要指明具体路径

一般所说“电源的电动势”，是由于电源不接外电路时，电源中净电荷的分布会达到平衡

我们称正电荷集中的区域为正极，负电荷集中的区域为负极

这样在正极和负极之间会产生电场，而由于达到平衡，需要满足条件${\mathbf{E}+\mathbf{K}=0}$

从而此时可以定义电源的电动势，其数值大小与电源两端电压相等

也就是高中常说的：电动势等于开路电压

以上是针对一个元件的情况，那如果有多个元件呢？

学过初中内容的都知道，${R_串=\sum_{i=1}^n{R_i}，R_并=\frac{1}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{R_i}}}}$

对于简单的电阻网络，通过串并联的计算就可以得到结果

但对于更复杂的问题，我们需要一般的公式

由此，我们就有基尔霍夫定律：

①对闭合电路中任意的节点，流入的电流总等于流出的电流（节点电流方程）；

②对闭合电路中任意的回路，电压升等于电压降（回路电压方程）

实际上，基尔霍夫定律来自更加基础的内容：

①电荷守恒定律

高中就提到过，但并未进行定量描述

此处引入电荷守恒定律的公式：${\nabla \cdot\mathbf{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}}$

对于恒定电流，电路中无法积累电荷（否则会导致电场的改变），从而${\frac{\partial\rho}{\partial t}=0}$；

从而，电路中电流密度的散度总是为0，故得出节点电流方程

②静电场环路定理

在第四章就已经提到过，与Maxwell方程中的法拉第定律挂钩，说明静电场是保守力场

由基尔霍夫定律，理论上可以将任意纯电阻电路写为线性方程组

对多个电源，除基尔霍夫定律外，电源叠加定律也可以用于简化问题：

一般地，电路中的电流可以视为各电源在此处产生的电流进行叠加

当电源数量较少，电阻网络较简单时，可能比基尔霍夫定律更加高效

还需补充两个著名定理：

诺尔顿定理：任意有两个端口的，只由电阻和电源组成的网络，可以等效成一个恒定电流源与一个电阻并联

戴维宁定理：任意有两个端口的，只由电阻和电源组成的网络，可以等效成一个恒定电压源（即高中所说的理想电源）与一个电阻串联

对于同一网络，诺尔顿电阻与戴维宁电阻大小相等，且恰好等于戴维宁电压与诺尔顿电流之商

从而由这两个定理，可以完成电压源与电流源之间的等效

当出现多个非理想电压源并联或多个非理想电流源串联的情况，可以利用等效简化问题

关于电阻的内容到此结束，下面看电容与电感

由于${C=\frac{Q}{U}}$，所以电荷一定时，电压与电容成反比

于是电容的串并联与电阻刚好相反，${C_串=\frac{1}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{C_i}}}}$，${C_并=\sum_{i=1}^n{C_i}}$

这样可能会带来一些计算上的不便

于是，我们定义物理量${C^*=\frac{1}{C}}$，称为倒数电容

由此关于电容的串并联也可按照电阻的方式进行

（以下电容器的参数均用倒数电容表示）

电感满足${U=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}}$，从而电感的串并联与电阻相同

接下来我们考虑常见的电路类型：

（以下不给出解微分方程的详细过程，过几天会再开一个帖讲常微分方程）

（电路均满足似稳条件，即元件尺寸足够小，以至于电磁波的传播时间可忽略不计）

①只含恒压电源的RC直流电路：

设电容器储存的电荷为${q(t)}$，则${C^*q+R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=U_0}$

解得${q(t)=C_0e^{-\frac{C^*}{R}t}+\frac{U_0}{C^*}}$，其中${C_0}$为积分常数，由初始条件决定

很明显，足够长时间后，前一项衰减至0

这意味着电容器充满，两端电压等于${U_0}$，电路中无电流通过

（对不含电源的电路，直接令${U_0=0}$，则${q(t)=C_0e^{-\frac{C^*}{R}t}}$，电容器的电量总是在足够长时间后衰减至0）

②只含恒压电源的RL直流电路：

设电路中电流为${I(t)}$，则${IR+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=U_0}$

解得${I(t)=\frac{U_0}{R}+C_0e^{-\frac{R}{L}t}}$

足够长时间后，后一项衰减至0，电流不再随时间变化，电感无分压

（对不含电源的电路，需要初始时电路中已有电流，令${U_0=0}$，则${I(t)=C_0e^{-\frac{R}{L}t}}$，电路中电流在足够长时间后衰减至0）

③只含恒压电源的LC直流电路：

设电容器储存电荷为${q(t)}$，则${L\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2}+C^*q=U_0}$

解得${q(t)=C_1\cos(\sqrt{\frac{C^*}{L}t})+C_2\sin(\sqrt{\frac{C^*}{L}t})+\frac{U_0}{C^*}}$，其中${C_1，C_2}$均为积分常数，由初始条件决定

（这里的初始条件需要同时提供电容器初始电量和回路初始电流）

此时电路会发生振荡，无法达到稳定，振荡周期${T=2\pi\sqrt{\frac{L}{C^*}}}$

（对不含电源的电路，这就是高中提到的$LC$振荡电路，不再赘述）

④只含恒压电源的RLC直流电路

设电容器储存电荷为${q(t)}$，则${L\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2}+C^*q+R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=U_0}$

这是一个阻尼振荡方程，分为三种情况：

1）若${R^2 \gt4LC^*}$，则为过阻尼，

${q(t)=C_1e^{\frac{-R+\sqrt{R^2-4LC^*}}{2L}t}+C_2e^{\frac{-R-\sqrt{R^2-4LC^*}}{2L}t}+\frac{U_0}{C^*}}$

2）若${R^2=4LC^*}$，则为临界阻尼，

${q(t)=(C_1+C_2t)e^{-\frac{R}{2L}t}+\frac{U_0}{C^*}}$

3）若${R^2 \lt4LC^*}$，则为欠阻尼，

${q(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}[C_1\cos(\frac{\sqrt{4LC^*-R^2}}{2L}t)+C_2\sin(\frac{\sqrt{4LC^*-R^2}}{2L}t)]+\frac{U_0}{C^*}}$

无论何种情况，足够长时间后均有${q(t)}$稳定到${\frac{U_0}{C^*}}$，${I(t)}$衰减到0

（不含电源时，同样直接令${U_0=0}$，则q(t)与I(t)均逐渐衰减到0）