物理 浅谈卷积定理
今天来讲一个油蛆的东西：卷积😋😋😋
1. 卷积的基本概念
假设我们有两个函数$f(t)$和$g(t)$，它们的卷积定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$
这里的$*$表示卷积运算。直观上，卷积可以理解为将一个函数在时间（或空间）上“滑动”并逐点与另一个函数相乘，然后对所有这些乘积进行积分（或求和）。
2. 离散卷积
在实际应用中，尤其是在数字信号处理和深度学习中，我们更常用的是离散卷积。对于两个离散序列$f[n]$和 $g[n] $，它们的卷积定义为：
$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n-m]$
3. 卷积的性质
交换律：$f * g = g * f$
结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$
4. 卷积的应用
在信号处理中，卷积常用于滤波。例如，一个信号$x[n]$和一个滤波器$h[n]$的卷积$y[n] = x[n] * h[n]$可以用来去除噪声或提取特定频率的信号。
在图像处理中，用于边缘检测、模糊处理、锐化等。一个图像可以视为一个二维矩阵，卷积核（也称滤波器）也是一个较小的二维矩阵。卷积操作通过对图像的每个像素及其邻域与卷积核进行加权求和来生成新的像素值。
在深度学习中，特别是在卷积神经网络（CNN）中，卷积层通过应用多个卷积核来自动学习输入数据（如图像）的特征。每个卷积核可以检测不同的特征（如边缘、纹理等），并通过多层卷积来构建更复杂的特征表示。
5. 示例
假设我们有一个简单的离散信号$f[n] = [1, 2, 3]$和一个卷积核 $g[n] = [1, 1]$，它们的卷积计算如下：
$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n-m]$
此外，卷积还有多种拓展，是不是肥肠氪癌？😋
对于两个函数$f(t)$和 $g(t)$，它们的卷积$(f * g)(t)$的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积，即：
$\mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$
其中$\mathcal{F}$表示傅里叶变换。
为了证明这个定，我们首先回顾傅里叶变换的定义。一个函数$f(t)$的傅里叶变换$F(\omega)$定义为：
$F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$
1.卷积的定义
两个函数$f(t)$和$g(t)$的卷积$(f * g)(t)$定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$
2.卷积的傅里叶变换
我们现在来计算卷积$(f * g)(t)$的傅里叶变换：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} (f * g)(t) e^{-i\omega t} \, dt$
将卷积的定义代入，得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \right) e^{-i\omega t} \, dt$
3.交换积分顺序
根据积分的性质，我们可以交换积分的顺序：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt \, d\tau$
4.变量替换
在内层积分中，令 u =$ t - \tau$，则 $t = u + \tau$，且$dt = du$。因此，内层积分变为：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega (u + \tau)} \, du $= $\e^{-i\omega \tau} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega u} \, du$
5.傅里叶变换的表达式
注意到内层积分实际上是$g(u)$的傅里叶变换$G(\omega)$：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega u} \, du = G(\omega)$
因此，我们有：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt = G(\omega) e^{-i\omega \tau}$
6.外层积分
将上述结果代回外层积分，得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) G(\omega) e^{-i\omega \tau} \, d\tau$
7.提取常数项
因为$G(\omega)$与$\tau$无关，可以将其提出来：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = G(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} \, d\tau$
8.傅里叶变换的定义
注意到内层积分实际上是$f(\tau)$的傅里叶变换 $F(\omega)$：
$\int_{-\fty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} \, d\tau = F(\omega)$
因此，我们最终得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = F(\omega) G(\omega)$
这就证明了硝穴寺年级的卷积定理啦😋：
$\boxed{\mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}}$
共2条回复
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4条评论
- 1
马铃薯
9小时前
讲得很好！公式呀衍生呀总结的很到位！我来补充补充卷积的常用之处叭～
uu们看到那个下限负无穷积分到上线正无穷了吧，我们概率论里面常常对连续型随机变量（就是f(x)的）积分时，会使用这个无穷的积分。那么对一件事情X，好积分，可是两件事呢？比如Z=X+Y，这就是俩随机变量啦！！！
这个时候大家一定会想到一个二重积分不就ok了吗，对的！但是有时题目没给你XY的概率，而是给了Z的，这个时候积分的被积函数就是X和Z啦，我们只要对X做积分就可以了，这就是卷积！附上一张图供大家参考
