物理 浅谈卷积定理
今天来讲一个油蛆的东西：卷积😋😋😋
1. 卷积的基本概念
假设我们有两个函数$f(t)$和$g(t)$，它们的卷积定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$
这里的$*$表示卷积运算。直观上，卷积可以理解为将一个函数在时间（或空间）上“滑动”并逐点与另一个函数相乘，然后对所有这些乘积进行积分（或求和）。
2. 离散卷积
在实际应用中，尤其是在数字信号处理和深度学习中，我们更常用的是离散卷积。对于两个离散序列$f[n]$和 $g[n] $，它们的卷积定义为：
$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n-m]$
3. 卷积的性质
交换律：$f * g = g * f$
结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$
4. 卷积的应用
在信号处理中，卷积常用于滤波。例如，一个信号$x[n]$和一个滤波器$h[n]$的卷积$y[n] = x[n] * h[n]$可以用来去除噪声或提取特定频率的信号。
在图像处理中，用于边缘检测、模糊处理、锐化等。一个图像可以视为一个二维矩阵，卷积核（也称滤波器）也是一个较小的二维矩阵。卷积操作通过对图像的每个像素及其邻域与卷积核进行加权求和来生成新的像素值。
在深度学习中，特别是在卷积神经网络（CNN）中，卷积层通过应用多个卷积核来自动学习输入数据（如图像）的特征。每个卷积核可以检测不同的特征（如边缘、纹理等），并通过多层卷积来构建更复杂的特征表示。
5. 示例
假设我们有一个简单的离散信号$f[n] = [1, 2, 3]$和一个卷积核 $g[n] = [1, 1]$，它们的卷积计算如下：
$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n-m]$
此外，卷积还有多种拓展，是不是肥肠氪癌？😋
对于两个函数$f(t)$和 $g(t)$，它们的卷积$(f * g)(t)$的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积，即：
$\mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$
其中$\mathcal{F}$表示傅里叶变换。
为了证明这个定，我们首先回顾傅里叶变换的定义。一个函数$f(t)$的傅里叶变换$F(\omega)$定义为：
$F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$
1.卷积的定义
两个函数$f(t)$和$g(t)$的卷积$(f * g)(t)$定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$
2.卷积的傅里叶变换
我们现在来计算卷积$(f * g)(t)$的傅里叶变换：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} (f * g)(t) e^{-i\omega t} \, dt$
将卷积的定义代入，得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \right) e^{-i\omega t} \, dt$
3.交换积分顺序
根据积分的性质，我们可以交换积分的顺序：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt \, d\tau$
4.变量替换
在内层积分中，令 u =$ t - \tau$，则 $t = u + \tau$，且$dt = du$。因此，内层积分变为：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega (u + \tau)} \, du $= $\e^{-i\omega \tau} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega u} \, du$
5.傅里叶变换的表达式
注意到内层积分实际上是$g(u)$的傅里叶变换$G(\omega)$：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i\omega u} \, du = G(\omega)$
因此，我们有：
$\int_{-\infty}^{\infty} g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt = G(\omega) e^{-i\omega \tau}$
6.外层积分
将上述结果代回外层积分，得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) G(\omega) e^{-i\omega \tau} \, d\tau$
7.提取常数项
因为$G(\omega)$与$\tau$无关，可以将其提出来：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = G(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} \, d\tau$
8.傅里叶变换的定义
注意到内层积分实际上是$f(\tau)$的傅里叶变换 $F(\omega)$：
$\int_{-\fty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} \, d\tau = F(\omega)$
因此，我们最终得到：
$\mathcal{F}\{f * g\}(\omega) = F(\omega) G(\omega)$
这就证明了硝穴寺年级的卷积定理啦😋：
$\boxed{\mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}}$
共4条回复
时间正序
马铃薯
1月前
讲得很好！公式呀衍生呀总结的很到位！我来补充补充卷积的常用之处叭～
uu们看到那个下限负无穷积分到上线正无穷了吧，我们概率论里面常常对连续型随机变量（就是f(x)的）积分时，会使用这个无穷的积分。那么对一件事情X，好积分，可是两件事呢？比如Z=X+Y，这就是俩随机变量啦！！！
这个时候大家一定会想到一个二重积分不就ok了吗，对的！但是有时题目没给你XY的概率，而是给了Z的，这个时候积分的被积函数就是X和Z啦，我们只要对X做积分就可以了，这就是卷积！附上一张图供大家参考
2条评论
- 1
活性自由基
1月前
↑↑↑上质选↑↑↑
补充一点点：Forier变换可以将坐标空间中的导数转化成频率空间中的一个频率变量（复化的），反之亦然
因此对一个$k$阶含时Dirac算子
$$D(t)=\text{i}\sum_{|\alpha|\leq k}u_\alpha(t)\partial^{\alpha}$$
作Forier变换得到的就是一个含时频率多项式
$$\sigma(D)=\sum_{|\alpha|\leq k}u_\alpha(t)\omega^{\alpha}$$
也就是所谓一个微分算子的象征（symbol），因此频率空间也被称为象征空间
整个PDE经过Forier变换之后可以彻底转化为一个象征空间上的方程即象征方程，也就引出了所谓Schonbek方法和奇异性传播定理，以及Ψ-DO
和数学过一辈子
1月前
下面是几道卷积的题目，有错欢迎指出😋@马铃薯 @活性自由基
给定两个离散信号$x[n] = [1, 2, 3]$和$h[n] = [4, 5]$，计算它们的卷积$y[n] = x[n] * h[n]$。
如果$x[n]$和$h[n]$的卷积为$y[n]$，那么$x[n-k]$和$h[n]$的卷积结果是什么？($k$为常数）
在一个数字信号处理系统中，输入信号$x[n] = [1, 0, -1, 0, 1]$经过一个滤波器，该滤波器的冲激响应$h[n] = [0.5, 1, 0.5]$。求输出信号$y[n]$。
考虑一个连续时间信号$x(t) = e^{-t}u(t)$（其中$u(t)$是单位阶跃函数）和一个系统的冲激响应$h(t) = \delta(t-1)$（$\delta(t)$是狄拉克 delta 函数）。求该系统的输出$y(t)$。
给定两个连续时间信号$x(t) = \sin(t)$和$h(t) = e^{-t}u(t)$，计算它们的卷积$y(t) = x(t) * h(t)$。
在图像处理中，一个$3 \times 3$的图像块$I$和一个$3 \times 3$的卷积核$K$如下所示：
$I = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad K = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
计算图像块$I$和卷积核$K$的卷积结果。