数学

求大神帮忙解答

已知$y > 2x$，所以$y - 2x > 0$。

对于$\dfrac{{y}^{2}-2xy + {x}^{2}}{xy - 2{x}^{2}}$，将分子${y}^{2}-2xy + {x}^{2}$变形为$y(y - 2x) + {x}^{2}$，则原式可化为$\dfrac{y(y - 2x) + {x}^{2}}{x(y - 2x)}$。

根据分式的性质，将其拆分为$\dfrac{y(y - 2x)}{x(y - 2x)} + \dfrac{{x}^{2}}{x(y - 2x)}$，进一步化简得到$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y - 2x}$。

2. 进一步变形构造基本不等式形式

把$\dfrac{y}{x}$进行变形，$y$可写成$y - 2x + 2x$，那么$\dfrac{y}{x} = \dfrac{y - 2x + 2x}{x}$，展开得到$\dfrac{y - 2x}{x} + \dfrac{2x}{x} = 2 + \dfrac{y - 2x}{x}$。

所以$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y - 2x} = 2 + \dfrac{y - 2x}{x} + \dfrac{x}{y - 2x}$。

3. 利用基本不等式求最小值

根据基本不等式$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时取等号），在这里$a = \dfrac{y - 2x}{x}$，$b = \dfrac{x}{y - 2x}$。

所以$2 + \dfrac{y - 2x}{x} + \dfrac{x}{y - 2x} \geqslant 2 + 2\sqrt{\dfrac{y - 2x}{x} \times \dfrac{x}{y - 2x}}$。

因为$\sqrt{\dfrac{y - 2x}{x} \times \dfrac{x}{y - 2x}} = \sqrt{1} = 1$，所以$2 + 2\sqrt{\dfrac{y - 2x}{x} \times \dfrac{x}{y - 2x}} = 2 + 2\times1 = 4$。

当且仅当$\dfrac{y - 2x}{x} = \dfrac{x}{y - 2x}$时取等号，此时将交叉相乘可得$(y - 2x)^2 = x^2$，因为$x$，$y$是正实数且$y > 2x$，所以$y - 2x = x$，即$y = 3x$。