物理 [TINY NSD]解析USTCMATHEntrance考试
科大数学入学考，即USTCMATHEntrance考试，每年科大本科新生都要接受它的洗礼
一般举办时间为8月底，新生报到的第二天
难度接近联赛一试，题型与联赛一试相同，只分值有区别（填空每题5分，解答每题20分，合计100分）
时间较长，为120分钟（远长于联赛一试的80分钟），但是有一种可能最后40分钟都在干坐着
众所周知，USTC有三大好处：
①早晨不用上早七（因为六点五十就要到）
②大一不用学普物（因为一上来就学四大）
③考试只用考几分（因为你只能够得几分）
当然这是玩笑，但USTCMATHEntrance难度是有的，像我这种退役数竞生每次都只有50来分（折合联赛60~70分），与我当初动辄八九十分的风光比拟不了
不过对于备考联赛的同学们来说，这几套题还是很有训练价值的
接下来，我会给出近五年USTCMATHEntrance的真题与解析，并且会给出个人评价，评论区更新中，请等待
1.（2024USTCMATHEntrance-1）已知${\operatorname{card}(A \cup B)=30, \operatorname{card}(A \cup C)=40, \operatorname{card}(B \cup C)=50}$，则${\operatorname{card}(A \cup B \cup C)的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_。}$
答案：${\lbrace n \in \mathbb{N^*} | 50 \le n \le 60 \rbrace}$
解析：由于${B \cup C \subseteq A \cup B \cup C}$，有${\operatorname{card}(A \cup B \cup C) \ge 50}$；
又观察Venn图可得${\operatorname{card}(A \cup B)+\operatorname{card}(B \cup C)+\operatorname{card}(C \cup A) \ge 2\operatorname{card}(A \cup B \cup C)}$，
从而${\operatorname{card} (A \cup B \cup C) \le \frac{30+40+50}{2}=60}$；
对${n \in \mathbb{N^*}且50 \le n \le 60}$，给出一个符合题意的构造：
${\operatorname{card} A=n-50，\operatorname{card} B=80-n，\operatorname{card} C=90-n}$，
${A \cap B=A \cap C=\varnothing，\operatorname{card}(B \cap C)=120-2n}$。
综上，${\operatorname{card}(A \cup B \cup C)的取值范围为\lbrace n \in \mathbb{N^*} | 50 \le n \le 60 \rbrace}$。
评点：难度1星，优雅度3星。
根据条件，我们能想到很多种方法限定所求值的范围，最终的上下界还算比较容易想到。由于这是填空题，只要上下界发现了构造，基本上便可以大胆猜测中间值都能取到了。严谨性起见的话当然还是要给出中间所有值的构造的。
2.（2024USTCMATHEntrance-2）
${平面区域\lbrace (x,y) | xy \ge 0且|x-1|+|y-1| \le 2 \rbrace的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_}$。
答案：6
解析：该区域为一个边长为${2\sqrt{2}}$的正方形挖去两个底边长为${2}$的等腰直角三角形，
面积为${(2\sqrt{2})^2-2 \times (\frac{1}{4} \times 2^2)=6}$。
评点：难度1星，优雅度1星。
把图画出来就极其显然了，比第1题还送分。
3.（2024USTCMATHEntrance-3）已知${f(x)=ax^2+x+1-e^x在(0,1)}$上有且只有一个零点，则${a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_}$。
答案：${(\frac{1}{2}, e-2)}$
解析：${f'(x)=2ax+1-e^x, f''(x)=2a-e^x}$，
从而${f''(x)在(0,1)上}$严格递减。
①若${a \le \frac{1}{2}}$，则${f''(0) \le 0}$，从而${\forall x \in (0,1), f''(x) \lt 0}$，
又${f'(0)=0，故\forall x \in (0,1), f'(x) \lt 0}$，
而${f(0)=0，故\forall x \in (0,1), f(x) \lt 0}$，不符合题意。
②若${a \gt \frac{1}{2}}$，则${f''(0) \gt 0}$，
又${f''(\ln(2a+1))=-1 \lt 0，其中\ln(2a+1) \gt 0}$，
必有${f'(x)在(0, +\infty)}$上先严格递增，后严格递减，极大值点为${\ln (2a)}$。
下证${f'(4a) \lt 0}$。
在①中令${a=\frac{1}{2}}$，得${\forall x \gt 0，\frac{1}{2}x^2+x+1-e^x \lt 0}$
而由于${a \gt \frac{1}{2} \gt 0}$，有
${f'(4a)=8a^2+1-e^{4a}=\frac{(4a)^2}{2}+1-e^{4a} \lt \frac{(4a)^2}{2}+4a+1-e^{4a} \lt 0}$。
又由${f'(0)=0}$，必有${f'(ln(2a)) \gt 0}$，
从而必有${f(x)在(0, 4a)}$上先严格递增，后严格递减，故只需${f(1) \lt 0}$，
解得${a \lt e-2}$。
${\frac{1}{2} \lt e-2}$,故取值范围为${(\frac{1}{2}, e-2)}$。
评点：难度2星，优雅度2星。
完全可以拿来出高考导数选择or比较简单的大题，放在这里完全可以算是考验基本功
当然和大多数导数题一样，答案显然（${f(1) \lt 0和f''(0) \gt 0}$两个条件还是很容易发现的），但严谨过程难绷
4.（2024USTCMATHEntrance-4）已知复数${z+w=1, zw=i}$，则${z^5+w^5=\_\_\_\_\_\_\_\_}$。
答案：${-4-5i}$
解析：${z^2+w^2=(z+w)^2-2zw=1-2i}$，
${z^3+w^3=(z^2+w^2-zw)(z+w)=1-3i}$，
${z^5+w^5=(z^2+w^2)(z^3+w^3)-z^2w^2(z+w)=(1-2i)(1-3i)+1=-4-5i}$。
评点：难度1星，优雅度2星。
初中生都会的题套了层复数的壳，除非连加减乘除都不会否则没有做错的理由。
5.（2024USTCMATHEntrance-5）正四棱锥铁块每个侧面都是边长为1的正三角形，将其磨成半径为$r$的球，则${r的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_}$。
答案：${\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
解析：所求值即为该四棱锥内切球半径
取过顶点及地面一组对边中点的面，则内切球截面内切于四棱锥截面
四棱锥截面为等腰三角形，底边长${1}$，腰长${\frac{\sqrt{3}}{2}}$，面积为${\frac{1 \times \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}}$，
故${\frac{1+2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{4}}$，解得${r=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$。
评点：难度1星，优雅度1星
高中课内题，不会写的建议回炉重造
（不过本人眼瞎做题时把四棱锥看成三棱锥了）