物理 [补档]留数定理
[注]本贴中的z除特殊说明均指复数
之前小号出了一个but是电脑版LaTeX导致几乎无法查看
所以补个档（有时间给小号那个删了）
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很久很久以前，有一只恶狗忽然出现，抢走了正在默默内卷的劳α，知道一个大從冥的出现，用一个积分把恶狗秒掉了，抢回了劳α
这个积分长这样：
$\sqrt{\sqrt{3} \int^3_0 \sqrt{|\oint _C \frac{dz}{z^3+(1-i-ipi)z^2-(pi+ipi+i)z+pi}|+3} \cdot x^3 dx}，C:|z+pi|=5$
今天，我们就要学习小学二年级的留数定理以秒掉这题
先仔细观察一下题目
发现除了根号下那一大坨复积分(额好像有好多根号）其它部分都只有幼儿园水平，所以我们着重讲这个复积分
$\oint _C \frac{dz}{z^3+(1-i-ipi)z^2-(pi+ipi+i)z+pi} ,C:|x+\pi|=5$就行了
那么这一坨，就可以用留数定理秒掉
正片开始
首先我们要了解留数的概念
还是以芒狗为例@饼ヾ芒
有一天，芒狗忽然想在一块草地上拉屎，但是芒狗毕竟是一只有想法的狗🐶，于是ta沿着一条轨迹$C$拉，其粑粑💩的高度的函数为$f(z)$
但是很冥显ta拉的粑粑💩是不连续的，所以必须有一些点ta没能拉到（完了最有味道的一集），所以这些点我们就称之为奇点
当然，这个定义是人话
用非人的语言，奇点是这么定义的：
若函数$f(z)$在点$z_0$的某去心领域上解析，但点$z_0$不解析，则称$z_0$为$f(z)$的奇点
就这么，你已经学会了小学二年级的基础知识👍👍👍主播主播，没看懂怎麽办🤧🤧🤧找芒狗让ta真给你这么拉几坨看看🤓🤓🤓
接下来就是留数
用非人类的语言就是......
一个函数$f(z)$在$z_0$的洛朗展开的负一次项系数就是函数$f(z)$在$z_0$处的留数计作$Res(f(z),z_0)$🤧🤧🤧
这时候就只能掏出翻译器了，在此，我非常推荐买一款企鹅牌翻译器，相比于传统的翻译器......()
翻译成人话就是一个函数的洛朗展开
$∑^{\infty}_{n=-\infty}a_n(z-z_n)$
ta的负一次项是
$a_{-1}=f(z)\cdot(z-z_0)$
也就是说
$Res(f(z),z_0)=\underset{z\to z_0}{lim}f(z)(z-z_0)$（后面的极限就不写了）
接下来，正片开始
$\large{留数定理}$
定理内容：
$对于一个函数f(z)在D上有有限个奇点z_1，z_2,\dots ，z_n（注意在D内！！！),C是一条正向简单闭曲线，则对f(z)在C上积分$，$积分值即为所有留数之和，即\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum ^n _{i=1} Res(f(z)，z_i)$
那么证明呢？
证明如下：
在$D上做一条取线S_k:|z-z_k|=r_k,使S_k被D包含但不与D香蕉$🍌
$变出复连通域D’(由C和S_k(负方向)围成),易得f(z)在D’解析，由柯西积分定理得$
$\oint_{C^+} f dz+∑^n_{k=1} \oint_{S_k^-} fdz =0 \,\,\,\,\,(1)$
$将S_k 变向并带入(1)得$
$\oint_{C} f dz=∑^n_{k=1} \oint_{S_k} fdz\,\,\,\,\,(2)$
$对其洛朗展开$
$f(z)=∑^∞_{m=-∞} c_m^{(k)} (z-z_k)^m$
$逐项积分得$
$ \oint_{S_k} fdz = \oint_{S_k} \frac{c_{-1}^{(k)}}{z-z_k}dz=2\pi i \cdot Res(f，z_k)\,\,\,\,\,(3)$
$将(3)带入(2)即可得到结论，证毕$
那么就回到梦开始的地方
$\oint _C \frac{dz}{z^3+(1-i-ipi)z^2-(pi+ipi+i)z+pi} ,C:|x+\pi|=5$
这题我们先把$f$的分母因式分解一下，得到
$f(z)=\frac{1}{(z+1)(z-i)(z-i \pi)}$
则
$Res(f，-1)=\frac{1}{(z+1)(z-i)(z-i \pi)}\cdot (z+1)=\frac{1}{(z-i)(z-i\pi )}$
$Res(f，i\pi)=\frac{1}{(z+1)(z-i)(z-i \pi)}\cdot (z-i\pi )=\frac{1}{(z-i)(z+1)}$
$Res(f，i)=\frac{1}{(z+1)(z-i)(z-i \pi)}\cdot (z-i)=\frac{1}{(z+1)(z-i\pi )}$
求一下和发现答案是$0$🤓🤓🤓(芒狗当年的精神状态：😭😭😭折磨人啊)
(诶黑更完力)
底下什么也没有
真的什么都没有啊
能翻到这也够nb了
请输入文本
可恶还是被你翻到了
$\frac{9\sqrt{3}}{2}$(这是最最最最最上面👆那题的答案哦～)（底下真没有了啊）
恭喜你被我坑到了🤓🤓🤓🤧🤧🤧💦💦💦🤡🤡🤡
共2条回复
时间正序
重生之我在质心伪企鹅
1天前
题目等我明天出几道
手头上有一道先将就着吧
$\oint_C \frac{dz}{z^3+[(-5-3\pi )+i(7-2\pi)]z^2 +[29\pi +i\pi (3\pi +10)]z -\pi^2 (16+22i)},C:|x-2.5+3.5i|=7$
6条评论
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青草味的小小芒狗
18小时前
替帖竹补充一下求留数规则
前置知识：设函数$f(z)$在$z_0$的邻域内解析，若满足$f(z_0) = f'(z_0) = \dots = f^{(m-1)}(z_0) = 0$ （即前m-1阶导数均为0），$f^{(m)}(z_0) \neq 0$（即第 m 阶导数不为0），称$z_0$是$f(z)$的m级零点
同时，若$z_0$是$f(z)$的m级零点，则$z_0$是$\frac{1}{f(z)}$的m级极点
现在可以正式学习了（）
若$z_0$是$f(z)$的m阶极点，则有：
$Res[f(z), z_0] = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - z_0)^mf(z)]$
因为帖竹不给质子所以就补充这么多（）