物理

浅谈傅里叶变换

1. 时域与频域：

    时域：描述信号随时间变化的情况。

    频域：描述信号由哪些频率成分组成及其强度。

2. 傅里叶级数：

   -对于周期性函数$f(t)$,可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，即：

     $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right)$

   -这里的$a_n$和$b_n$是傅里叶系数,$\omega$是角频率。

3. 傅里叶变换：

   对于非周期性函数$f(t)$,傅里叶变换将其表示为连续频率的正弦和余弦函数的积分形式：

     $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$

    其中$F(\omega)$是$f(t)$的傅里叶变换,$e^{-i\omega t}$是复指数函数，它可以表示为 $\cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$。

4. 逆傅里叶变换：

    通过逆傅里叶变换可以从频域回到时域：

     $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega$

应用领域

傅里叶变换在多个领域有着广泛的应用，包括：

1.信号处理：用于信号的滤波、压缩和分析。

2.图像处理：用于图像的压缩（如JPEG格式）、滤波和特征提取。

3.通信工程：用于调制和解调信号，以及信道编码。

3.物理学：在波动理论、量子力学等领域有重要应用。

4.数学：在解决微分方程、积分方程等问题中起到关键作用。

5.当然也可以拿来装13😋

离散傅里叶变换（DFT）

在实际应用中，由于信号往往是离散的，因此使用离散傅里叶变换（DFT）：

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-i 2\pi k n / N}$

快速傅里叶变换（FFT）是DFT的一种高效算法，大大减少了计算量。

本期就到这了，以后还会更其他，求支持😋