物理

[TINY NSD]TSHML 1st（一试）

改为联赛模拟了，这次题目是我自己出的

$\color{red}{\Huge{没人吗？大家都来看题啊}}$

一试（满分120分，时间80分钟）

一、填空题（共8小题，每小题8分，共64分）

1. 若$\log_7 a$和$\log_2 a$是方程$x^2 - bx + b = 0$的两实根，$b$为实数，则$a = \underline{\quad\quad}$。

2. $\{a_n\}$为首项为$a$，公差为$a$的等差数列，$\{b_n\}$为首项为$a$，公比为$a$的等比数列，$|a| \lt 1$，若$\{a_n b_n\}$的所有项之和小于1，则$a$的范围是$\underline{\quad\quad}$。

3. 四棱锥$P-ABCD$的底面为梯形，$AB \parallel CD$且$AB = 2CD$。$E$为线段$PB$上一点（不含端点），过$AE$且与$BC$平行的平面交$PC$于$F$，$PD$于$G$。若$\frac{V_{\text{四棱锥}P-AEFG}}{V_{\text{四棱锥}P-ABCD}} \geq \frac{5}{18}$，则$\frac{PE}{PB}$的最小值为$\underline{\quad\quad}$。

4. 在$\triangle ABC$中，记角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$\sin A + \sin B = \tan C$，则$\frac{c}{a} + \frac{c}{b}$的最小值为$\underline{\quad\quad}$。

5. 在$S = \{1,2,\ldots,3n\}$的所有子集中随机等可能抽取一个，其所有元素和为3的倍数的概率为$\underline{\quad\quad}$。（$\varnothing$的所有元素和视为0）

6. 定义在$(-\infty, 2)$上的函数$f(x)$满足：$f(2x) = f(x + 1)$在定义域内恒成立，当$x \in [0,1]$时，$f(x) = \sin(\omega x)$，且在$[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$上不存在零点。若$f(x_1) = f(x_2) = \frac{1}{2}$，且$0 \lt |x_1 - x_2| \leq 4$，则$x_1$最小值为$\underline{\quad\quad}$。

7. 抛物线$C: y^2 = 2px$焦点为$F$，两条切线$l_1, l_2$斜率之积为$\lambda$（$\lambda \lt -1$），切点分别为$A$，$B$，$l_1$与$l_2$相交于点$P$，则$\frac{S_{\text{四边形}PAFB}}{S_{\triangle FAB}}$的最小值为$\underline{\quad\quad}$。（用$\lambda$表示）

8. 一个五位数$\overline{abcde}$除以7的余数是$e - b$，这样的五位数一共有$\underline{\quad\quad}$个。

二、解答题（共3小题，第9小题16分，10，11两小题各20分，共56分）

9. 平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，双曲线$C$：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a,b \gt 0$），其左右顶点分别为$A$、$B$，过$B$且与$x$轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于$D$。双曲线上有一点$P$，$BP$与直线$x = \frac{a}{2}$交于$Q$，$AP$与直线$x = -\frac{a}{2}$交于$R$。求$\frac{S_{\triangle AQR}}{S_{\triangle OBD}}$的最小值。

10. 数列$\{a_n\}$的每一项均大于8，记$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$\{a_n^2\}$的前$n$项和为$T_n$，则$\forall n \in \mathbb{N}^*$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}T_n - 9S_n + 40n + 12$。若$a_{10} - 8 = 2^{a_4 - 7}$，求$\{a_n\}$的通项公式。

11. 对于$x,y \in \mathbb{C}$，记$f(x,y) = |\text{Re}(x) - \text{Re}(y)| + |\text{Im}(x) - \text{Im}(y)|$为$x$与$y$的曼哈顿距离。现$z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$，若$z_1, z_2, z_3$两两间的曼哈顿距离均不超过1，求$|z_1 - z_2| + |z_2 - z_3| + |z_3 - z_1|$的最大值。