物理

[TINY NSD]电磁学和一点点非常基础的电动力学（续集1）

第五章 真空中的静磁场

在正式进入磁场的讲解之前，首先要补充一点关于电流的内容

通过截面$S$的电流的定义一般化为${I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}$

为接下来讨论的方便，我们需要补充一个物理量：

定义电流密度${\mathbf{j}=\rho \mathbf{v}}$，其中${\rho}$是某一点处的体电荷量密度，${\mathbf{v}}$是该点处带电粒子的运动速率

这个定义与电流之间有什么关系呢？可以通过如下的推导说明：

我们记在${\mathrm{d}t}$时间内通过截面$S$的电荷${\mathrm{d}q}$分布在区域${\Delta V}$中

那么${I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\iiint_{\Delta V}\rho \mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=\iiint_{\Delta V}\rho \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d} t}}$

${=\iint_S \rho \mathrm{d} S \cdot\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\iint_S \rho \mathbf{v} \cdot\mathrm{d} S}$

${=\iint_S \mathbf{j} \cdot \mathrm{d} S}$

于是我们得到了电流与电流密度之间的关系，由这个式子，也很容易理解${\mathbf{j}}$被命名为“电流密度”的原因

在这样的基础下，我们可以观察真空Maxwell方程组中与磁场相关的部分：

${\nabla \cdot \mathbf{B}=0}$（高斯磁定律）

${\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}$（安培-麦克斯韦定律）

其中${\mu_0}$为常数

由于我们目前不讨论随时间变化的电场，所以安培-麦克斯韦定律可以简化：

${\nabla \times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}}$

类似前面对电场的讨论，我们定义新的物理量：

在真空中，规定磁场强度${\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}}$

则${\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}}$

利用斯托克斯定理，将其写为积分形式：

${\oint_l \mathbf{H} \cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=\iint_S \nabla \times \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_S\mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=I}$

其中$I$为通过截面S的总电流，需事先约定正负

这被称为安培环路定理

关注另一个式子：磁感应强度的散度为0，也就是说磁场是无源场

于是我们可以定义磁矢势$\mathbf{A}$使得${\nabla \times \mathbf{A}=\mathbf{B}}$

如同电势一样，磁矢势不是唯一确定的，如何定义磁矢势详见第九章

由以上两个方程，还可以推出另一个重要结论（不过实际上这一结论是实验发现的）：

Biot-Savart定律：电流元${I\mathrm{d}\mathbf{l}}$在空间某一点产生的磁场${\mathrm{d} \mathbf{B}=\frac{\mu_0I \mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{4\pi r^3}}$

其中${\mathbf{r}}$为该点相对于电流元的空间位置，$r$为其模长

第六章 电介质和磁介质

首先明确：本章讨论的内容主要限制于线性介质，非线性介质将于结尾简要提及，不作详细说明

对于物质中的每个分子，我们都可以用一对离得很近，电量绝对值相等的正负电荷等效替代，我们称为电偶极子

电偶极子的性质可以用电偶极矩描述，定义为${\mathbf{p}=q\mathbf{l}}$，其中$q$为正负电荷的绝对值，$\mathbf{l}$为由负点电荷指向正点电荷的位置矢量

分子的电偶极矩又称为固有电矩

学过高中化学的同学会知道，分子分为极性分子和非极性分子，其区别就在于极性分子的固有电矩非0，而非极性分子的固有电矩为0

对于电介质中的一点，取其周围的体积微元${\Delta V}$，${\Delta V}$满足如下性质：其在宏观条件之下足够小，以至于可以近似为一点；但在微观条件之下又足够大，以至于固有电矩近似仍然成立

则我们称极化强度${\mathbf{P}=\frac{\sum_{\Delta V}\mathbf{p}}{\Delta V}}$

如果${\mathbf{P}=\chi_e \epsilon_0\mathbf{E}}$，其中${\chi_e}$为常数，那么称这样的介质为线性均匀介质，${\chi_e}$称为极化率

同时修改电位移的定义：${\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}}$

称${\epsilon_r=\chi_e+1}$为相对介电常量，又称相对电容率，称${\epsilon=\epsilon_0 \epsilon_r}$为绝对介电常量

那么显然${\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}}$

一切都岁月静好，不是吗？

太天真了……

有一些介质，不满足各向同性的条件，此时就不能用单独的标量${\chi_e}$来表示其极化率

我们引入极化率（二阶）张量${\overleftrightarrow{\chi_e}}$：

可以看出，我们能够将二阶张量写成矩阵的形式，其与矢量运算的法则也遵循矩阵与向量的乘法法则，即：

${(\overleftrightarrow{\chi_e}\mathbf{E})_x=\chi_{xx}E_x+\chi_{xy}E_y+\chi_{xz}E_z}$

${(\overleftrightarrow{\chi_e}\mathbf{E})_y=\chi_{yx}E_x+\chi_{yy}E_y+\chi_{yz}E_z}$

${(\overleftrightarrow{\chi_e}\mathbf{E})_z=\chi_{zx}E_x+\chi_{zy}E_y+\chi_{zz}E_z}$

于是，我们得到了更新过的表达式：

${\mathbf{P}=\epsilon_0\overleftrightarrow{\chi_e}\mathbf{E}}$

${\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon_0\overleftrightarrow{\epsilon_r}\mathbf{E}=\overleftrightarrow{\epsilon}\mathbf{E}}$

其中${\overleftrightarrow{\epsilon_r}=\overleftrightarrow{\chi_e}+\overleftrightarrow{1}}$

${(\overleftrightarrow{1})_{xx}=(\overleftrightarrow{1})_{yy}=(\overleftrightarrow{1})_{zz}=1，其余分量均为0}$

这样的介质称为线性介质，不满足这一表达式的介质称为非线性介质

可以发现，线性均匀介质的${\overleftrightarrow{\chi_e}}$满足：

${(\overleftrightarrow{\chi_e})_{xx}=(\overleftrightarrow{\chi_e})_{yy}=(\overleftrightarrow{\chi_e})_{zz}=\chi_e，其余分量均为0}$

非线性介质中，有一类具有外电场撤销后极化保留的性质，这样的介质称为铁电质，典型代表为钛酸钡，不作详细说明

极化的过程中会产生极化电荷${q’}$,其体电荷量密度记为${\rho’}$

相应地，并不是极化所产生的电荷成为自由电荷${q_0}$，其体电荷量密度记为${\rho_0}$

推导可以得出${\nabla \cdot \mathbf{P}=-\rho’}$

自由电荷置于真空中产生的电场称为外电场${\mathbf{E_0}}$，总电场与外电场的差值称为附加电场${\mathbf{E’}=\mathbf{E}-\mathbf{E_0}}$

由于${\mathbf{E’}与\mathbf{E_0}一般方向相反，又称为退极化场}$

在电介质中，Maxwell方程电场部分的一般形式如下：

${\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho_0}$

${\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}$

对于磁介质而言，由于目前未发现孤立存在的磁荷，对磁偶极矩的定义采用安培的分子电流观点：

将每个分子等效为环形电流，则规定磁偶极矩为${\mathbf{p_m}=I\mathbf{S}}$，其中$I$为等效电流，$\mathbf{S}$为环形电流围成区域的面积矢量

分子的磁偶极矩称为固有磁矩，固有磁矩非零的物质称为顺磁质，反之称为抗磁质

外磁场对分子电流可以产生两种效应：

①对于顺磁质，外磁场的作用会使其分子磁矩沿外磁场方向整齐排列，使其磁化，称为顺磁效应；

②无论何种磁介质，分子电流受外磁场的洛伦兹力作用，产生与外磁场相反方向的附加磁矩，称为抗磁效应

一般而言，顺磁质的顺磁效应强于抗磁效应，而抗磁质无顺磁效应，仅有抗磁效应

磁化后，定义磁化强度${\mathbf{M}=\frac{\sum_{\Delta V}\mathbf{p_m}}{\Delta V}}$，其中${\Delta V}$的定义方式与电介质类似

顺磁质的磁化强度与外磁场磁感应强度方向相同，抗磁质的磁化强度与外磁场磁感应强度方向相反

对一般的线性介质，${\mathbf{M}和\mathbf{B}的关系难以直接建立，需通过磁场强度\mathbf{H}}$这一中间量：

${\mathbf{B}=\mu_0\overleftrightarrow{\mu_r}\mathbf{H}=\overleftrightarrow{\mu}\mathbf{H}，\mathbf{M}=\overleftrightarrow{\chi_m}\mathbf{H}}$

其中${\overleftrightarrow{\chi_m}}$称为磁化率，${\overleftrightarrow{\mu_r}=\overleftrightarrow{\chi_m}+\overleftrightarrow{1}}$称为相对磁导率，${\overleftrightarrow{\mu}=\mu_0\overleftrightarrow{\mu_r}}$称为磁导率

对于线性均匀磁介质，磁化率张量可简化为标量${\chi_m}$，顺磁质的${\chi_m}$为正，抗磁质的${\chi_m}$为负；

对于线性非均匀介质，通常而言，磁化率本征值的正负性与主导效应相关，本征值均为正时，介质表现顺磁性；本征值均为负时，介质表现抗磁性

（本征值即特征值，其定义与求法详见《为什么说人民是历史的创造者？》第一章）

以下情况较为少见：

①本征值有正有负。此时磁介质的固有磁矩非零，但在部分方向上抗磁效应强于顺磁效应，导致磁介质在一些方向上表现为顺磁性，另一些方向上表现为抗磁性；

②本征值为虚数。该情况极其少见，一般只见于极端情况下，不讨论。

在介质中，修正过后的关于磁场的Maxwell方程组如下：

${\nabla \cdot \mathbf{B}=0}$

${\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}$