物理 闲证定理：卷积定理
直入正题
首先看标题，卷积是什么呢🤔
卷积说的是两个函数如何互相作用，其中一个函数被翻转并滑过另一个函数，在滑动过程中进行积分
这就是我们小学二年级学过的卷积()
当然你可能看不懂，但你只要知道卷积是这个积分式就可以了
它长这样：$(f * g)(t) = ∫^∞_{-∞}f(τ)g(t - τ)dτ$
其中$τ$是积分变量，叫做哑变量
那这个卷积定理是什么呢？
这就得提到傅里叶变换了
傅里叶变换是这个东西：
$F{f(t)}=∫_{−∞}^∞f(t)e^{-iωt}dt$
逆变换长这样：$f(t)=\frac{1}{2π}∫_{−∞}^∞F{f(t)}e^{iωt}dt$(虽然对定理的证明没什么作用()
物理意义是将时域信号转换为频域的连续频谱
卷积定理说的是两个函数卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积
表达式是这样的：若$(f*g)(t)=h(t)$，则$H(ω)=F(ω)·G(ω)$
这个时候我们就可以套公式了()
$F{(f∗g)(t)}=∫_{−∞}^∞(∫_{−∞}^∞f(τ)g(t−τ)dτ)e^{−iωt}dt$
由于$f(τ)$和$dt$没啥关系，所以给它提出来
$F{(f∗g)(t)}=∫_{−∞}^∞f(τ)(∫_{−∞}^∞g(t−τ)dτ)e^{−iωt}dt$
先处理内层积分$∫_{-∞}^∞g(t - τ)e^{-iωt}dt$，令$u=t-τ$，则$t=u+τ$，且$du=dt$
当$t→±∞$时，$u→±∞$，所以内层积分处理成下面的形式：
$∫_{-∞}^∞ g(u) e^{-iω(u+τ)} du=e^{-iωτ} ∫_{-∞}^∞ g(u) e^{-iωu} du$
因为这个$e^{-iωτ}$和$u$没关系，所以可以给它提出来
我们发现这个积分式显然等于$e^{-iωτ}·G(ω)$
加上外层的积分就是这样的：$F(ω)=∫_{−∞}^∞f(τ)·e^{-iωτ}·G(ω)dt$
这边可以把$G(ω)$提出去，剩下的部分显然是$F(ω)$
所以我们就证明了难度仅次于小学三年级的卷积定理()
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