数学

整式的乘除

在代数中，“整式”指的是多项式，因此这涉及多项式的乘法和除法。乘法通常涉及分配律或FOIL方法（二项式），而除法则可能涉及长除法或综合除法（适用于除以线性因子）。回顾一下，多项式是形如 \( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) 的表达式，其中系数是常数（通常是有理数、实数或复数），并且指数是非负整数。对于乘法：要将两个多项式相乘，需将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后合并同类项。例如：\((2x + 3)(x - 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\)。对于除法：多项式除法类似于整数除法。给定两个多项式 P(x) 和 D(x)，其中 D(x) 不为零，我们可以找到商式 Q(x) 和余式 R(x)，使得 P(x) = D(x) Q(x) + R(x)，其中 R(x) 的次数小于 D(x) 的次数。例如：用 \( x^2 + 3x + 2 \) 除以 \( x + 1 \)。首先，进行多项式除法。将 \( x + 1 \) 除入 \( x^2 + 3x + 2 \)。\( x^2 \) 除以 \( x \) 得 \( x \)。将 \( x \) 乘以 \( (x + 1) \) 得 \( x^2 + x \)。从原始式减去：\( (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x) = 2x + 2 \)。然后，\( 2x \) 除以 \( x \) 得 2。将 2 乘以 \( (x + 1) \) 得 \( 2x + 2 \)。相减得 0。所以商为 \( x + 2 \)，余数为 0。实际上，\( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \)，所以可以整除。另一个例子：用 \( 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) 除以 \( x - 2 \)。使用综合除法：由于除数是线性的。根为 2。系数：2，-3，4，-5。将 2 带入：2（第一个系数） | 将 2 乘以 2 得 4，加到 -3 上得 1。2 乘以 1 得 2，加到 4 上得 6。2 乘以 6 得 12，加到 -5 上得 7。所以商为 \( 2x^2 + x + 6 \)，余数为 7。因此，\( 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7 \)。在中文中，“整式”通常就是多项式，而“分式”是有理函数。但乘法和除法是基本操作。也许用户希望我提供公式或规则。对于乘法，二项式定理可能相关：\( (a + b)^n = \sum \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)。但那是二项式的情况。对于一般的多项式，没有简单公式；只需要逐项相乘。“整式的乘除指的是多项式的乘法和除法运算。”“对于乘法，将两个多项式相乘时，把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，并合并同类项。”“例如： \((3x - 2)(x + 4) = 3x \cdot x + 3x \cdot 4 + (-2) \cdot x + (-2) \cdot 4 = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8\)。”“对于除法，多项式除以多项式时，使用长除法或综合除法（当除式为一次式时）。结果表示为商式和余式，且余式的次数低于除式的次数。”“例如：用 \( x^2 - 5x + 6 \) 除以 \( x - 2 \)。长除法：\( x^2 \) 除以 \( x \) 得 \( x \)，\( x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x \)，相减：\( (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 2x) = -3x + 6 \)。然后 \( -3x \) 除以 \( x \) 得 \( -3 \)，\( -3 \cdot (x - 2) = -3x + 6 \)，相减得 0。所以商为 \( x - 3 \)，余数为 0。”“如果除式不是一次式，也可使用长除法。”“综合除法示例：用 \( 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1 \) 除以 \( x - 1 \)。根为 1，系数：3, -4, 2, -1。带下 3，1*3=3，加到 -4 得 -1；1*(-1)= -1，加到 2 得 1；1*1=1，加到 -1 得 0。所以商为 \( 3x^2 - x + 1 \)，余数为 0。”“这些是整式乘除的基本方法。如平方差：\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)，完全平方：\( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)，等等。在除法中，如果多项式在整数上，可能需要因式分解。整式的乘除是指多项式的乘法和除法运算。**乘法：** 将两个多项式相乘时，把一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后将所得的积相加，并合并同类项。例如：\((2x + 3)(x - 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\).**除法：** 多项式除以多项式时，使用长除法或综合除法（当除式为一次式）。结果表示为商式和余式，且余式的次数低于除式的次数。例如：用 \(x^2 + 3x + 2\) 除以 \(x + 1\)：长除法：\(x^2\) 除以 \(x\) 得 \(x\)，\(x \cdot (x + 1) = x^2 + x\)，相减：\((x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x) = 2x + 2\)。然后 \(2x\) 除以 \(x\) 得 \(2\)，\(2 \cdot (x + 1) = 2x + 2\)，相减得 \(0\)。所以商为 \(x + 2\)，余数为 \(0\).综合除法示例：用 \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) 除以 \(x - 2\)，根为 \(2\)，系数：2, -3, 4, -5。带下 2，\(2 \times 2 = 4\) 加到 -3 得 1，\(2 \times 1 = 2\) 加到 4 得 6，\(2 \times 6 = 12\) 加到 -5 得 7。所以商为 \(2x^2 + x + 6\)，余数为 \(7\)。整式的乘除是指整式（即多项式）的乘法和除法运算。整式是由常数、变量（如 \(x\)）通过加、减、乘和非负整数次幂运算构成的表达式，例如 \(3x^2 - 2x + 1\)。下面分别介绍整式的乘法和除法，包括基本规则、步骤和示例。### 整式的乘法整式的乘法遵循分配律：将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后将所得的积相加，并合并同类项（即相同次幂的项）。**步骤：**1. 将第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项。2. 计算每个乘积。3. 将所有乘积相加，并合并同类项（整理相同次幂的系数）。