矢量分析与场论初步

参考书籍:矢量分析与场论(谢树艺)，电磁学拓展篇(梁灿彬)，数学分析下册(华东师范)。

声明(卑微):本帖在公式上不会使用LATEX(主要是不会，并且也是想当笔记用)，公式会写在纸上，下有标注[如(1.12.3)]。

目录:矢量分析:矢性函数➡导数与微分➡定积分与不定积分

矢量场:什么是场？➡偏导数➡梯度➡散度➡环量与旋度➡重要矢量场➡哈密顿算子

附:常见曲线坐标系

一、矢性函数

1)什么是矢性函数？[本贴没有特别声明时标量函数统一为f(x)]

不必多说，在之前物理和数学的学习中，我们已经对形如f(x)这样的函数已纪滚瓜烂熟。但有没有想过一个问题呢，量分方向和无方向，一个是矢量(或向量，本篇统一叫矢量)，一个是标量。对于f(x)这样的图像就是一条线，没有方向可言。那有没有有方向的函数呢？当然有！这就是我们在未来物理学习必不可少的矢性函数！

模与方向都不变的矢量叫常矢，那变化的呢？比如速度随时间的变化，是变矢，我们需要确定某一时刻的速度大小与方向，这时就需要用到矢性函数了，记作A=A(t)，其中t为时间，为标量，t的每一个数值对有一个速度，即矢量与之对应。那么坐标是什么呢？显然，在Oxyz直角坐标系中一个速度的坐标为x=Ax(t)，y=Ay(t)，z=Az(t)，都是与t对应的函数，但速度与时间的变化不在是标量函数了，我们要让三个坐标为矢量，即Ax(t)i，Ay(t)j，Az(t)k，其中i，j，k为沿x，y，z三个坐标轴的正向单位矢量(就像一个分数乘以100%从而使它变成百分数)。所以矢性函数A(t)的坐标表示为A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k。

2))矢端曲线

怎么绘制其图像呢？为了能用图形来直观地表示矢性函数A(t)的变化状态，我们就可以把A(t)的起点取在坐标原点.这样t变化时，矢量A(t)如同一根长短变化的笔，矢量A(t)的终点及笔头M就描绘出一条曲线L，(如图1-1所示，评论区)，这条曲线叫做矢性函数的矢端曲线，亦叫做A(t)的图像。我们需要理解一个东西，即此时的t为一个参数，不出现在图像中，但A(t)三个坐标的值都是由其随一个关于t的式子决定的，比如x=3c o s(t)，y=4 s i n(t)，z=2t，(这当然不是例图的式子，大家可以尝试自己画出这个例子的图像，是个螺旋上升的曲线哦)，此时A(t)=x3c o s(t)i+ 4s i n(t)j+2tk，此式就是以t为参数的参数方程啦！

3)矢性函数极限

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(贴主做这个主要是为了电磁学和之后量子力学的学习，作者也是刚刚踏入矢量场的大门，平时也有许多补课，所以说更新会较慢)