物理 ［论坛资料室］［TINY NSD］高等数学——函数与极限(3)
本篇为上一篇的续集，因篇幅过大无法发出，将在本帖继续更新
本篇属于［栖岸计划］(叠多少了都
———————————————————————————————————以下是正文———————————————————————————————————
$\Huge{新手篇(2)}$
$\huge{Part~02.函数的极限}$
$\LARGE{§_2.函数极限的性质}$
收敛数列的极限有各种性质，函数极限当然也有💦～
但是与数列极限不同的是，函数极限是有两种情况的，所以性质也分两种。
它有四个性质：
$\textbf{\large{性质1.唯一性}}$
若$\lim_{x\to x_0}f(x)\quad (\lim_{x\to\infty}f(x))$存在，则它的极限唯一。
$x\to\infty$时的证明与数列极限性质1几乎完全相同，留给毒者证明🤧，这里给出$x\to x_0$时的证法(其实也相似)
$\textbf{证：}$不妨设$\lim_{x\to x_0}f(x)=a，\lim_{x\to\infty}f(x)=b，a\gt b$
则取$ε=\frac{a-b}{2}\gt 0，∃δ_1，δ_2$，使当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0，δ_1)，|f(x)-a|\lt\frac{a-b}{2}$
$\implies f(x)\gt\frac{a+b}{2}~~~~~~~~(1)$
同样当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0，δ_2)，|f(x)-b|\lt\frac{a-b}{2}$
$\implies f(x)\lt\frac{a+b}{2}~~~~~~~~(2)$
取$δ=\min\{ δ_1，δ_2\}$，则当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0，δ)，(1)(2)$同时成立
矛盾！
$\therefore$若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则它的极限唯一
$Q.E.D.$
$\textbf{\large{性质2.局部有界性}}$
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$∃M\gt 0，δ\gt 0$，使得当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)|\le M$
若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，则$∃M\gt 0，X\gt 0$，使得当$|x|\gt X，|f(x)|\le M$
我在这里证一下第一个，另一个证法类似，读者自证不难～
$\textbf{证：}\because\lim_{x\to x_0}f(x)=a，∀ε\gt 0，∃δ\gt 0$，当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)-a|\lt ε$
$\iff a-ε\lt f(x)\lt a+ε$
取$M=\max\{ |a-ε|，|a+ε|\}$，则$|f(x)|\le M$
$Q.E.D.$
$\textbf{\large{性质3.局部保号性}}$
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$
若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃N\gt 0$，使当$|x|\gt N$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$
依然证第一个😋
$\textbf{证：}$当$a\gt 0$时，
$∵\lim_{x\to x_0}\gt 0$，取$ε=\frac{a}{2}，∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$|f(x)-a|\lt\frac{a}{2}$
$\implies f(x)\gt -\frac{a}{2}+a=\frac{a}{2}\gt 0$
同理当$a\gt 0$时，$∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$
$Q.E.D.$
当然根据它的证明，还可以进一步得到：
$\large{\textbf{性质3}'}$
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\ne 0，∃\overset{\circ}{U}(x_0)$，当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0)，|f(x)|\gt\frac{|a|}{2}$
若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\ne 0，∃N\gt 0$，当$|x|\gt N，|f(x)|\gt\frac{|a|}{2}$
同样的，将性质3反过来就还可以得到推论：
$\large{\textbf{推论3}"}$
若当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0)，f(x)\ge 0(f(x)\le 0)，\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$a\ge 0(a\le 0)$
若$N\gt 0，|x|\gt N$时，$f(x)\ge 0(f(x)\le 0)$，且$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$a\ge 0(a\le 0)$
证明并不难，毒者自行证明💦
$\textbf{\large{性质4.海涅定理(Heine's Theorem)}}$
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff 对于\lim_{n\to\infty}x_n=x_0(x_n\ne x_0)且x_n∈D_f，\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a$.
这个定理反映了函数极限与数列极限的关系。
$\textbf{证：}$
必要：由$\lim_{x\to x_0}f(x)=a，∀ε\gt 0，∃δ\gt 0，$当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)-a|\lt ε$
又由$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0=a，∀δ\gt 0，∃N，$当$n\gt N，|x_n-x_0|\lt δ$
而$x_n\ne x_n$，故当$n\gt N，0\lt |x_n-x_0|\lt δ$，
因此$|f(x_n)-a|\lt ε$，即$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a$
充分：用反证法，若$lim_{n\to\infty}x_n=x_0(x_n\ne x_0)且x_n∈D_f，\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a，\lim_{x\to x_0}f(x)≠a$
那么$∃ε\gt 0,∀δ\gt 0,0\lt |x-x_0|\lt δ,|f(x)-a|\ge ε$
取$δ_n=\dfrac{1}{n}$，则总有$x=x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$
满足$0\lt |x_n-x_0|\lt δ_n,|f(x_n)-a|\ge ε$
取$N=[\dfrac{1}{ε} ]+1，当n\gt N，|x_n-x_0|\lt\dfrac{1}{n}\lt\dfrac{1}{N}\lt ε$
故$\lim_{n\to\infty}x_n=x_n$
而这时$∀n，有|f(x_n)-a|\ge ε$
因此$\lim_{n\to\infty}f(x_n)≠a$
矛盾！
因此假设不成立，$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$
$Q.E.D.$
在这个证明中，其实不一定要取$δ_n=\dfrac{1}{n}$，取别的也行，甚至不取直接写也行，
因为这里的意义就在于能够推导出$\{ x_n\}$的极限是$x_0$，从而与由下文引出矛盾。
估计初学者看到这里都有些云里雾里，那么海涅定理究竟有什么用🤔？我们看一个例子：
证明：$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$不存在。
反证法，假设$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$存在
令$x_n=\dfrac{1}{2nπ},x'_n=\dfrac{1}{2nπ+\frac{π}{2}}$
显然$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x'_n=0$，
所以有$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}=\lim_{n\to\infty}\sin (2nπ)=0,$
$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}=\lim_{n\to\infty}\sin (2nπ+\frac{π}{2})=1$
由函数极限的唯一性，矛盾！
因此假设不成立，$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$不存在
$Q.E.D.$
由上可知，海涅定理的用途就在于，可以通过构造两个不同的数列，得到同一个极限不同值，根据唯一性得到矛盾来证明某函数的极限不存在。
如有错误请指出
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