物理

［论坛资料室］［TINY NSD］高等数学——函数与极限(3)

本篇为上一篇的续集，因篇幅过大无法发出，将在本帖继续更新🤓👍

随便更点先看吧♿

$\color{red}{[2025.10.8更新]}$

———————————————————————————————————以下是正文———————————————————————————————————

$\Huge{新手篇(2)}$

新手篇(1)

$\huge{Part~02.函数的极限}$

$\LARGE{§_2.函数极限的性质}$

收敛数列的极限有各种性质，函数极限当然也有💦～

但是与数列极限不同的是，函数极限是有两种情况的，所以性质也分两种.

然而，因为两种情况的性质是非常相似的，所以高数书只讲了一种

$\sout{我才不会告诉你那我也不写了🤓👍}$

不说废话了，它有四个性质：

$\textbf{\large{性质1.唯一性}}$

若$\lim_{x\to x_0}f(x)\quad (\lim_{x\to\infty}f(x))$存在，则它的极限唯一.

$x\to\infty$时的证明与数列极限性质1几乎完全相同，留给毒者证明🤧，这里给出$x\to x_0$时的证法(其实也相似)

$\textbf{证：}$不妨设$\lim_{x\to x_0}f(x)=a，\lim_{x\to\infty}f(x)=b，a\gt b$.

则取$ε=\frac{a-b}{2}\gt 0，∃δ_1，δ_2$，使当$x∈\overset{U}{\circ}(x_0，δ_1)，|f(x)-a|\lt\frac{a-b}{2}$.

$\implies f(x)\gt\frac{a+b}{2}~~~~~~~~(1)$.

同样当$x∈\overset{U}{\circ}(x_0，δ_2)，|f(x)-b|\lt\frac{a-b}{2}$.

$\implies f(x)\lt\frac{a+b}{2}~~~~~~~~(2)$.

取$δ=\min\{ δ_1，δ_2\}$，则当$x∈\overset{\circ}(x_0，δ)，(1)(2)$同时成立.

矛盾!

$\therefore$若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则它的极限唯一.

$Q.E.D.$

$\textbf{\large{性质2.局部有界性}}$

若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$∃M\gt 0，δ\gt 0$，使得当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)|\le M.$

若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，则$∃M\gt 0，X\gt 0$，使得当$|x|\gt X，|f(x)|\le M.$

我在这里证一下第一个，另一个证法类似，$\color{red}{读者自证不难～}$

$\textbf{证：}\because\lim_{x\to x_0}f(x)=a，∀ε\gt 0，∃δ\gt 0$，当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)-a|\lt ε.$

$\iff a-ε\lt f(x)\lt a+ε$.

取$M=\max\{ |a-ε|，|a+ε|\}$，则$|f(x)|\le M.$

$Q.E.D.$

$\textbf{\large{性质3.局部保号性}}$

若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$.

若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃N\gt 0$，使当$|x|\gt N$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$.

依然证第一个😋

$\textbf{证：}$当$a\gt 0$时，

$∵\lim_{x\to x_0}\gt 0$，取$ε=\frac{a}{2}，∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$|f(x)-a|\lt\frac{a}{2}$.

$\implies f(x)\gt -\frac{a}{2}+a=\frac{a}{2}\gt 0$.

同理当$a\gt 0$时，$∃δ\gt 0$，使当$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，$f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)$.

$Q.E.D.$

当然根据它的证明，还可以进一步得到：

$\large{\textbf{性质3}'}$

若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\ne 0，∃\overset{\circ}{U}(x_0)$，当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0)，|f(x)|\gt\frac{|a|}{2}$.

若$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\ne 0，∃N\gt 0$，当$|x|\gt N，|f(x)|\gt\frac{|a|}{2}$.

同样的，将性质3反过来就还可以得到推论：

$\large{\textbf{推论3}"}$

若当$x∈\overset{\circ}{U}(x_0)，f(x)\ge 0(f(x)\le 0)，\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$a\ge 0(a\le 0).$

若$N\gt 0，|x|\gt N$时，$f(x)\ge 0(f(x)\le 0)$，且$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$a\ge 0(a\le 0).$

证明并不难，毒者可以自己证明💦

$\textbf{\large{性质4.函数极限与数列极限的关系}}$

若$\lim_{x\to x_0}f(x)=a，\lim_{n\to\infty}x_n=x_0(x_n\ne x_0)$且$x_n∈D_f$，则相应的$\{ f(x_n)\}$必然收敛，$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a$.

$\textbf{证：}$由$\lim_{x\to x_0}f(x)=a，∀ε\gt 0，∃δ\gt 0，$当$0\lt |x-x_0|\lt δ，|f(x)-a|\lt ε$.

又由$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0=a，∀δ\gt 0，∃N，$当$n\gt N，|x_n-x_0|\lt δ$.

而$x_n\ne x_n$，故当$n\gt N，0\lt |x_n-x_0|\lt δ$，

因此$|f(x_n)-a|\lt ε$，即$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a.$

$Q.E.D.$

未完待续……

(如有错误，请指出，感谢)