物理

[论坛资料室]Pi函数与Stirling公式

众所周知，在物理化学/热力统计学/组合与概率里，由于经常用到阶乘，因此对阶乘的估计是十分重要的。特别是对大数阶乘的渐近分析（因为在物理化学中经常考虑$N\to +\infty$的情况）。

基于此目的，经典分析学建立了$\text{Pi}$函数$\Pi$。$\text{Pi}$函数的定义是：

$$\Pi(s)=\Gamma(s+1),\quad s\in\mathbb{C}$$

由$\text{Gamma}$函数的定义我们知道，

$$\Pi(N)=N!,\quad N\in\mathbb{N}$$

然后，经典分析证明了$\text{Pi}$函数的大数渐近行为：

$$\log\Pi(N)\sim \left(N+\frac{1}{2}\right)\log N-N+\frac{1}{2}\log (2\pi N)$$

一种更常见的渐近是一阶渐近：

$$\log \Pi(N)\sim N\log N-N$$

这个就是在物理化学里常见的公式。

这个渐进被称为$\text{Stirling}$渐近。

事实上，$\text{James Stirling}$给出了带余项的精确的公式，也就是$\text{Stirling}$公式：

$$\log\Pi(N)=\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N-N+A-\int_N^\infty\frac{B_1(x)}{x}dx,N\in\mathbb{N}$$

$$\log\Pi(s)=\left(s+\frac{1}{2}\right)\log s-s+A-\int_0^\infty\frac{B_1(t)}{t + s}dt,s\in\mathbb{C}$$

其中$A$是$\text{Stirling}$常数：

$$A = 1 + \int_1^\infty \frac{B_1(x) \, dx}{x}$$

（这公式似乎在一张梗图里出现过？）

我们要做的工作则是证明这两个公式。

首先需要几个重要的引理。

$\text{Lemma 1.}$（$\text{Euler-Maclaurin}$公式）

$$\sum_{k=a}^{b} f(k)=\int_{a}^{b}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left( f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a) \right)+R_{m}$$

且余项$R_m\to 0$当$m\to\infty$。

$\text{Euler-Maclaurin}$公式在经典分析中占据重要地位，因为其是将求和和积分联系起来的一种工具。$\text{Euler-Maclaurin}$公式不仅是在证明$\text{Stirling}$公式中起重要作用，“正规化之神”$\text{Ramanujan}$常数几乎完全是由$\text{Euler-Maclaurin}$公式推得的。

$\text{Proof.}$

首先我们知道$\text{Bernoulli}$多项式$B_n(x)$定义为生成函数

$$\frac{t e^{tx}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}$$

对于$\text{Bernoulli}$多项式的导数关系，我们有如下推导：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{te^{xt}}{e^t-1}\right)=\frac{t^2e^{xt}}{e^t-1}$$

展开得，

$$\frac{t^2e^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^{n+1}}{n!}$$

另一方面，如果直接展开生成函数再求导，

$$\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty B_n(x)\frac{t^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dx}B_n(x)\frac{t^n}{n!}$$

对比两边$t^n$的系数就不难发现，

$$\frac{d}{dx} B_n(x) = n B_{n-1}(x)$$

此外，伯努利函数具有正交性。证明如下：

$$\int_0^1\frac{te^{xt}}{e^t-1}dx=\frac{t}{e^t-1}\int_0^1 e^{xt}dx=1$$

$$\int_0^1\sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int_0^1 B_n(x)dx\right)\frac{t^n}{n!} $$

所以

$$\sum_{n=0}^\infty\left(\int_0^1 B_n(x)dx\right)\frac{t^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\delta_{n,0}\frac{t^n}{n!}$$

因此

$$\int_0^1 B_n(x)dx=0, \quad(\text{for } n \geq 1)$$

根据定义以及前面两个结论，不难得出

$$B_n(0)=B_n(1)=B_n,\quad (\text{for } n\geq 2)$$

且

$$B_1(0)=-\frac{1}{2},B_1(1)=\frac{1}{2}$$