物理 闲证定理：柯西-黎曼方程组(C-R方程组)
感觉有那么点水💦
不管了，直接更
柯西-黎曼方程组简称C-R方程组(虚拟世界方程组(？)(无端联想))，它长这个样子：$\frac{∂u}{∂x}=\frac{∂v}{∂y}$，$\frac{∂u}{∂y}=-\frac{∂v}{∂x}$
在复分析中，如果一个函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在某点可导，那么这一点满足C-R方程组
首先我们要知道函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$要在$z_0$处可导，那么极限$f'(z_0)=\lim_{Δz\to0}\frac{f(z_0+Δz)-f(z_0)}{Δz}$存在并有限
嗯，和我们以前认识的导数差不多，所以不用学了(bushi)
这里的$Δz=Δx+iΔy$，要证明函数在某点可导满足C-R方程组，可以考虑两种路径逼近$z_0$
1、沿实数轴方向逼近，此时$Δy=0$，也就是$Δz=Δx$，是实数增量
2、沿虚数轴方向逼近，此时$Δx=0$，也就是$Δz=iΔy$，是纯虚数增量
首先看第一种沿实数轴
$f'(z_0)=\lim_{Δx\to0}\frac{f(z_0+Δx)-f(z_0)}{Δx}$
$=\lim_{Δy\to0}\frac{[u(x_0,y_0+Δy)+iv(x_0,y_0+Δy)]-[u(x_0,y_0)+iv(x_0,y_0)]}{iΔy}$
$=\lim_{Δy\to0}\frac{u(x_0,y_0+Δy)-u(x_0,y_0)}{iΔy}+i\lim_{Δy\to0}\frac{v(x_0,y_0+Δy)-v(x_0,y_0)}{iΔy}$
$=\frac{1}{i}\lim_{Δy\to0}\frac{u(x_0,y_0+Δy)-u(x_0,y_0)}{Δy}+\lim_{Δy\to0}\frac{v(x_0,y_0+Δy)-v(x_0,y_0)}{Δy}$
因为$\frac{1}{i}=-i$，所以$=-iu_y(x_0,y_0)+v_y(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0)$
由于函数在$z_0$处可导，所以两种路径得到的导数是相等的
也就是这么个等式：$u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0)$
把这个式子整理一下，让实部与实部相等，虚部与虚部相等，就得到了C-R方程组
$\frac{∂u}{∂x}=\frac{∂v}{∂y}$，$\frac{∂u}{∂y}=-\frac{∂v}{∂x}$
好耶，一口气更完
