物理

整理预备轮代数知识点

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目录：

因式分解进阶

换元法与主元法

因式定理与待定系数法

轮换式与对称式

高次方程与分式方程

无理方程与二元二次方程组

分式恒等变形

根式恒等变形

不等式、集合、逻辑

整数解与韦达定理

整数根问题进阶

函数与方程不等式

函数最值问题

一：因式分解进阶

乘法公式：

平方差公式：$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=\left(a\pm b\right)^2$

立方和、差公式：$\left(a\pm b\right)\left(a^2\mp ab+b^2\right)=a^3\pm b^3$

完全立方公式：$a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=\left(a\pm b\right)^3$

三元完全平方公式：$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=\left(a+b+c\right)^2$

$n$ 次方差公式：$a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

$n$ 次方和公式（要求 $n$ 为奇数）：$a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

拆添项：在不改变公式的数值的前提下，把一项拆成两项或添加一项，而实现分组分解。

e.g.分解因式：$x^4-3x^2+1$

解：$原式=x^4-2x^2+1-x^2=\left(x^2-1\right)^2-x^2=\left(x^2+x-1\right)\left(x^2-x-1\right)$

双十字相乘：

对于多项式 $ax^2+bxy+cx^2+dx+ex+f$，我们可以这么因式分解：

先把 $ax^2+bxy+cy^2$ 因式分解，列出十字：

$a_1\qquad c_1$

$a_2\qquad c_2$

然后把 $ax^2+dx+f$ 因式分解，列出十字：

$a_1\qquad f_1$

$a_2\qquad f_2$

最后把 $cy^2+ey+f$ 因式分解，列出十字：

$c_1\qquad f_1$

$c_2\qquad f_2$

把三个十字合并：

$a_1\qquad c_1\qquad f_1$

$a_2\qquad c_2\qquad f_2$

因式分解的结果就是 $\left(a_1x+c_1y+f_1\right)\left(a_2x+c_2y+f_2\right)$。