物理 [TINY NSD]数学原创题征集！（组合区）
看到一位佬新发的帖子突然灵光乍现，决定模仿szm
题目难度要求：
①不得为新手轮or初中课内题，最好为竞赛一轮及以上或高中课内难题
②必须为原创题，若被发现转载投自制将删除该投稿人的所有题目
③投稿需附带答案，答案有误则会驳回重新检查
④评定题目质量标准：DeepSeek无法做出的会被评定为优质题，其余为普通题
本区域为组合区，欢迎大家投稿组合好题~~~
组合001（优质题，泰勒展开二向箔）
${已知质数p，甲乙轮流玩游戏：有p个空格排成一排，记每一次操作是当前玩家将一个数码放进一个空格中，甲先开始，}$
${游戏结束后，所有格子均有数码，且得到一个p位数M，在这些数码中，允许出现数码0。}$
${若p∣M，则甲获胜；否则，乙获胜。证明：甲有必胜策略。}$
共3条回复
时间正序
泰勒展开二向箔
5天前
$已知质数p，甲乙轮流玩游戏：有p个空格 排成一排，记每一次操作是当前玩家将一个数码放进一个空格中，甲先开始$
$游戏结束后，所有格子均有数码，且得到一个p位数M，在这些数码中，允许出现数码0$
$若p∣M，则甲获胜；否则，乙获胜。证明：甲有必胜策略$
4条评论
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泰勒展开二向箔
4天前
答案：
$设M=a_0+10a_1+...+10^{p-1}a_{p-1}，其中，从右到左记第i号空格放置的数码为a_i(i=1,2,...,p-1)$
$若p=2或5，此时甲将0放置在最右侧的空格中即可$
$若p\neq 2且p\neq 5，此时由费马小定理可知$
$p\mid(10^{p-1}-1) \Leftrightarrow p\mid((10^{\frac{p-1}{2}})^2-1) \Leftrightarrow p\mid(10^{\frac{p-1}{2}}+1)(10^{\frac{p-1}{2}}-1)$
$则 p\mid(10^{\frac{p-1}{2}}+1)或p\mid(10^{\frac{p-1}{2}}-1)$
$(i) p\mid(10^{\frac{p-1}{2}}+1)，此时甲令a_{p-1}=0，则之后每次乙将a_i放在第i号空格中，甲对称地将a_i放在第j号空格中$
$其中当i\in［0，\frac{p-1}{2}］时，j=i+\frac{p-1}{2}；当i\in［\frac{p-1}{2}，p-2］时，j=i-\frac{p-1}{2}$
$故10^j\equiv -10^i(mod ～ p)，于是a_j10^j= a_i10^i\equiv -a_i10^j(mod ～ p)，可得p\mid(a_i10^i+a_j10^j)$
$显然，当甲第一次操作后仍有p-1个空格，继续先前的操作，故最后所得的数可被p整除$
$此时甲获胜$
$(ii)p\mid(10^{\frac{p-1}{2}}-1)，此时甲令a_{p-1}=0，之后每次乙将a_i放在第i号空格中，甲对称地将9-a_i放在第j号空格中$
$其中当i\in［0，\frac{p-1}{2}］时，j=i+\frac{p-1}{2}；当i\in［\frac{p-1}{2}，p-2］时，j=i-\frac{p-1}{2}$
$故10^j\equiv 10^i(mod～ p)，于是a_j10^j+a_i10^i\equiv (a_i+a_j)10^i\equiv 9*10^i (mod～ p)$
$这表明M\equiv {\sum^{\frac{p-1}{2}}_{i=1} i}=9*10^i=10^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0 (mod ～p)$
$此时甲获胜$
$综上，甲有必胜策略$