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[TINY NSD]数学原创题征集！（代数区）

看到一位佬新发的帖子突然灵光乍现，决定模仿szm

题目难度要求：

①不得为新手轮or初中课内题，最好为竞赛一轮及以上或高中课内难题

②必须为原创题，若被发现转载投自${}$制将删除该投稿人的所有题目

③投稿需附带答案，答案有误则会驳回重新检查

④评定题目质量标准：DeepSeek无法做出的会被评定为优质题，其余为普通题

本区域为代数区，欢迎大家投稿代数好题~~~

代数001（普通题，luzly）

${定义a_n=2n-1，f_k(a_i)=\begin{cases}1,i \in (\frac{k(k+1)}{2}, \frac{(k+1)(k+2)}{2}] \\0,否则\end{cases}}$，

${求证\sum_{i \in \mathbb{N^*}}f_k(a_i)\cdot a_i=(k+1)^3。}$

代数002（优质题，Fertilization）

${已知x_1=0, x_2=\frac{\sqrt{3}}{4}，n \ge 2时有}$

${2x_{n+1}^2-(x_n^2+x_{n-1}^2+1) \le 2x_n (x_{n+1}-x_{n-1}-1)，}$

${求证x_{2026}^2+(\frac{1}{3}x_{2025})^2 \le \frac{3}{7}。}$

代数003（普通题，妄想徒手摘星）

${已知a+b+c=0，求\frac{(a^7+b^7+c^7)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^{4})(a^5+b^5+c^5)}。}$