数学

[数学漫谈]韦东奕方程解法的缘起

[2025年7月8日已更新]

$x^5+10x^3+20x-4=0$

想必上面这个方程，大家都不陌生，这便是著名的韦东奕方程。

而在考试里，韦东奕提供了一个精彩绝伦的换元法——令$x=a-\dfrac{2}{a}$。

这样原方程经过代入化简便得到$a^5-\dfrac{32}{a^5}-4=0$，方程成功化简。

这个神之假设是怎么来的呢？你决定探究一番。

我们都知道一个常识——一元五次方程在实数范围内是无根式解的

因式分解和函数思想都不行时，作为一名竞赛生的你不自觉的想到了卡尔达诺提出的卡丹公式

在求解一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$时，他利用了一记巧妙的换元——令$y=u+v$，成功达到了从三次方程转变为二次方程的降次的目的，最后利用求根公式求解。

你决定故技重施，令$x=a+b$.

代入原方程          $(a+b)^5+10(a+b)^3+20(a+b)-4=0$

二项式定理展开  $(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$

                              $10(a+b)^3=10a^3+30a^2b+30ab^2+10b^3$

                              $20(a+b)=20a+20b$

这时，你愣住了：原方程不但没有简化，反而多出了原方程没有的四次项，变得更复杂了。

刨根问底，你发现问题出现在了换元上.

你为了避免四次项的产生，你条件反射般想到要令$b$为$a$的倒数，这样两者相乘才会抵消，避免了额外的四次项.

但是，这时你并不是很确定a和b的具体关系，于是你令$b=\dfrac{n}{a}$进行尝试(n为待定系数)

代入原方程 $(a+\dfrac{n}{a})^5+10(a+\dfrac{n}{a})^3+20(a+\dfrac{n}{a})-4=0$

同样展开     $(a+\dfrac{n}{a})^5=a^5+5a^4\dfrac{n}{a}+10a^3(\dfrac{n}{a})^2+10a^2(\dfrac{n}{a})^3+5a(\dfrac{n}{a})^4+(\dfrac{n}{a})^5$

                     $10(a+\dfrac{n}{a})^3=10a^3+30a^2\dfrac{n}{a}+30a(\dfrac{n}{a})^2+10(\dfrac{n}{a})^3$

                     $20(a+\dfrac{n}{a})=20a+20\dfrac{n}{a}$

果然，之前的四次项变成了三次项，而且三次项变成一次项.

介于式子冗杂，你于是合并同类项整理，这样和原方程一一对应了.

$a^5+(5n+10)a^3+(10n^2+30n+20)a+(10n^3+30n^2+20n)\dfrac{1}{a}+(5n^4+10n^3)\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{n^5}{a^5}-4=0$

不过结果依旧不明显，这时，注意力惊人的你观察到中间的系数可以进行因式分解！！

$a^5+5(n+2)a^3+10(n+1)(n+2)a+10n(n+1)(n+2)\dfrac{1}{a}+5n^3(n+2)\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{n^5}{a^5}-4=0$

这时，你惊奇地发现——除了五次项和常数项以外，其它次项都含有因式(n+2)！

我们之前换元的目的不就是为了简化方程吗？

所以，在这里我们只需要含$(n+2)$因式的项为$0$，就可以简化方程了.

$n+2=0→n=-2$

于是，我们便确定了待定系数$n=-2$了.

那么换元假设就变为$x=a-\dfrac{2}{a}$了.

这便是韦东奕在考试中假设的由来.

✅解答过程

解：不妨设$x=a-\dfrac{2}{a}$

代入原方程       $(a-\dfrac{2}{a})^5+10(a-\dfrac{2}{a})^3+20(a-\dfrac{2}{a})-4=0$

整理得                                                        $a^5-\dfrac{32}{a^5}-4=0$

                                                                               $a^{10}-4a^5-32=0$

                                                                                $(a^5-8)(a^5+4)=0$   

                                                                   $a=\sqrt[5]{8}$或$a=-\sqrt[5]{4}$

                              $x=\sqrt[5]{8}-\dfrac{2}{\sqrt[5]{8}}$或$x=-\sqrt[5]{4}+\dfrac{2}{\sqrt[5]{4}}$                                                                                                                  

   📝备注：本方程有且仅有一个实数根，通过计算可以发现这两个解是相等的！！！

       ✅趁热打铁

利用合适的方法解下列方程

$⑴x^5+5x^3+5x-2=0$

$⑵x^5+6x^3+9x-4=0$

$⑶x^5+15x^3+45x=27$

$⑷x^5+20x^3+80x-32=0$

$⑸(挑战题)32x^5+400x^3+500x-625=0$