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题目要求我们找到集合 \( S = \{ n \mid 1 \leq n \leq 150, n^2 - 1 \text{为120的倍数} \} \) 的元素个数。
首先，我们来分析条件 \( n^2 - 1 \) 为 120 的倍数。可以将 \( n^2 - 1 \) 写为：
\[ n^2 - 1 = (n-1)(n+1) \]
因此，条件变为：\[ (n-1)(n+1) \] 是 120 的倍数。
120 的质因数分解为：\[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \]
这意味着 \( (n-1)(n+1) \) 必须同时包含这些质因数。
### 1. \( (n-1)(n+1) \) 是 8（即 \(^3\)）的倍数
- 如果 \( n \) 是奇数，那么 \( n-1 \) 和 \( n+1 \) 都是偶数，且其中一个至少是 4 的倍数，因此 \( (n-1)(n+1) \) 一定是 8 的倍数。
- 如果 \( n \) 是偶数，那么 \( n-1 \) 和 \( n+1 \) 都是奇数，它们的乘积不可能是 8 的倍数。
因此，\( n \) 必须是奇数。
### 2. \( (n-1)(n+1) \) 是 3 的倍数
- 在三个连续的整数 \( n-1 \)，\( n \)，\( n+1 \) 中，必定有一个是 3 的倍数。如果 \( n \) 是奇数，那么 \( n-1 \) 或 \( n+1 \) 中有一个是 3 的倍数。
### 3. \( (n-1)(n+1) \) 是 5 的倍数
- 在五个连续的整数 \( n-2 \)，\( n-1 \)，\( n \)，\( n+1 \)，\( n+2 \) 中，必定有一个是 5 的倍数。如果 \( n \) 是奇数，那么 \( n-1 \) 或 \( n+1 \) 中有一个是 5 的倍数。
### 结论
综上所述，\( n \) 必须是奇数，并且 \( n-1 \) 或 \( n+1 \) 必须是 15（即 \(3 \times 5\)）的倍数。
因此，\( n \) 的形式可以是：
- \( n = 15k + 1 \)
- \( n = 15k1 \)
其中 \( k \) 是整数。
### 求满足条件的 \( n \) 的个数
1. \( n = 15k + 1 \)
\[ 1 \leq 15k + 1 \leq 150 \]
\[ 0 \leq 15k \leq 149 \]
\[ 0 \leq k \leq 9 \]（因为 \( k = 0, 1, 2, \ldots, 9 \)）
因此，有 10 个解。
2. \( n = 15k - 1 \)
\[ 1 \leq 15k - 1 \leq 150 \]
\[ 2 \leq 15k \leq 151 \]
\[ \frac{2}{15} \leq k \leq \frac{151}{15} \]
\[ k = 1, 2, \ldots, 10 \]（因为 \( k = 1, 2, \ldots, 10 \)）
因此，有 10 个解。
### 总结
因此，满足条件的 \( n \) 的个\[ 1 = 20 \]
所以，集合 \( S \) 的元素个数为 \(\boxed{20}\)。
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