数学

一元三次方程的求根公式

首先，用户问的是一元三次方程的求根公式。一元三次方程的标准形式是 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。我需要回想一下这个公式。我记得一元三次方程的求根公式比较复杂，通常称为卡丹公式（Cardano's formula），以吉罗拉莫·卡丹命名，尽管它最初是由其他人发现的。公式涉及一些代数和复数运算。让我试着回忆公式的推导。对于一般三次方程 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)，首先通过除以 \( a \) 简化为 monic 形式（首项系数为1）： \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \)，其中 \( p = b/a \), \( q = c/a \), \( r = d/a \).然后，通过代换 \( x = y - p/3 \) 消除二次项。这会将方程转化为简化形式： \( y^3 + my + n = 0 \)，其中 \( m \) 和 \( n \) 是系数。具体来说，代换后，方程变为 \( y^3 + py + q = 0 \)，我习惯用 \( y^3 + ay + b = 0 \).然后，对于方程 \( y^3 + py + q = 0 \)，解由卡丹公式给出：\[ y = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 } } + \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 } } \]但这里有个问题：如果判别式 \( \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 < 0 \)，则涉及复数，尽管根可能是实数。这需要处理复数立方根。在实数范围内，当判别式非负时，这个公式给出实根；但当判别式负时，有三个实根，公式涉及复数。用户可能期望一个直接的公式，所以我应该呈现标准形式。让我写出完整步骤。设方程为 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \), \( a \neq 0 \).1. 除以 \( a \): \( x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0 \). 令 \( p = \frac{b}{a} \), \( q = \frac{c}{a} \), \( r = \frac{d}{a} \), 所以方程是 \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \).2. 代换 \( x = y - \frac{p}{3} \) 消除二次项。代入后：\[ \left( y - \frac{p}{3} \right)^3 + p\left( y - \frac{p}{3} \right)^2 + q\left( y - \frac{p}{3} \right) + r = 0 \]展开后，二次项会抵消。结果是：\[ y^3 + \left( q - \frac{p^2}{3} \right)y + \left( r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} \right) = 0 \]令 \( m = q - \frac{p^2}{3} \), \( n = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} \), 所以方程是 \( y^3 + my + n = 0 \).3. 现在，解 \( y^3 + my + n = 0 \).卡丹公式是：\[ y = \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} + \sqrt{ \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 } } + \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} - \sqrt{ \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 } } \]判别式是 \( D = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 \).- 如果 \( D > 0 \), 有一个实根和两个复根。- 如果 \( D = 0 \), 所有根实，且至少两个相等。- 如果 \( D < 0 \), 有三个不同实根。当 \( D < 0 \), 公式涉及复数立方根，但最终结果是实数。在这种情况下，可以使用三角函数形式表示根。对于有三个实根的情况，公式可以写为：\[ y_k = 2\sqrt{ -\frac{m}{3} } \cos\left( \frac{1}{3} \arccos\left( \frac{3n}{2m} \sqrt{ -\frac{3}{m} } \right) - \frac{2\pi k}{3} \right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \]但这是当 \( m < 0 \) 时，因为 \( D < 0 \) 意味着 \( \left( \frac{n}{2} \right)^2 < - \left( \frac{m}{3} \right)^3 \), 所以 \( m < 0 \).在标准卡丹公式中，即使 \( D < 0 \)，也可以计算，但需要处理复数。为了简单起见，我应该给出一般公式，并注明当判别式负时的情况。用户可能只想知道公式，所以我先给出基本形式。让我写出完整的求根公式。最终，根 \( x \) 是通过 \( y \) 表示的，\( x = y - \frac{p}{3} \).所以，总结：对于 \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \),计算:\[ m = q - \frac{p^2}{3} \]\[ n = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} \]然后判别式 \( D = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 \)然后 \( y = \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} + \sqrt{D} } + \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} - \sqrt{D} } \)但 \( \sqrt{D} \) 可能是虚数，如果 \( D < 0 \).在实数计算中，如果 \( D \geq 0 \), 这个给出实根；如果 \( D < 0 \), 需要取立方根的适当分支。为了实用，我可以说当有三个实根时，使用三角形式。但或许对于一般回答，给出卡丹公式即可。我记得有一个公式直接给出根。另一个方式是使用Vieta的公式，但那不是求根公式。我应该呈现标准形式。让我查找记忆中的公式。对于 \( y^3 + py + q = 0 \), 根是\[ y = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } + \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } \]是的。在原始变量中。所以，对于 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \),先计算:\[ p = \frac{b}{a}, \quad q = \frac{c}{a}, \quad r = \frac{d}{a} \]然后 \( m = q - \frac{p^2}{3} \)\( n = r - \frac{p q}{3} + \frac{2 p^3}{27} \)然后 \( y = \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} + \sqrt{ \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 } } + \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} - \sqrt{ \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 } } \)然后 \( x = y - \frac{p}{3} \)这个 \( y \) 是一个根，其他根可以通过解二次方程得到，因为一旦有一个根，可以因式分解。在三次方程中，卡丹公式给出一个根，然后其他两个根可以通过解二次方程得到。但在公式中，这个表达式给出一个根。当 \( D < 0 \)，这个公式仍然成立，但需要计算复数立方根，最终虚部抵消。为了完整，我应该提到这一点。或许用户期望一个类似于二次方程的公式，但三次的更复杂。我可以写一个简洁版本。另一个方式是使用以下公式：设 \( \Delta_0 = b^2 - 3ac \)\( \Delta_1 = 2b^3 - 9abc + 27a^2d \)然后判别式 \( \Delta = \Delta_1^2 - 4\Delta_0^3 \)如果 \( \Delta > 0 \)，一个实根，两个复共轭根；如果 \( \Delta = 0 \)，所有根实，至少两个相等；如果 \( \Delta < 0 \)，三个不同实根。然后根由：\[ x = -\frac{1}{3a} \left( b + C + \frac{\Delta_0}{C} \right) \]其中 \( C = \sqrt[3]{ \frac{ \Delta_1 + \sqrt{\Delta} }{2} } \)，但 \( \Delta \) 可能是负的，所以又涉及复数。在标准表示中，\( C = \sqrt[3]{ \frac{ \Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3} }{2} } \)，但 \( \Delta_1^2 - 4\Delta_0^3 = \Delta \)，判别式。实际上，\( \Delta = \Delta_1^2 - 4\Delta_0^3 \)，所以 \( C = \sqrt[3]{ \frac{ \Delta_1 + \sqrt{\Delta} }{2} } \)然后一个根是 \( x = -\frac{1}{3a} \left( b + C + \frac{\Delta_0}{C} \right) \)其他根可以通过因式分解得到。这个公式避免了先前的代换。让我验证。对于三次方程 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \),定义：\( \Delta_0 = b^2 - 3ac \)\( \Delta_1 = 2b^3 - 9abc + 27a^2d \)判别式 \( \Delta = \Delta_1^2 - 4\Delta_0^3 \)然后 \( C = \sqrt[3]{ \frac{ \Delta_1 + \sqrt{\Delta} }{2} } \)（立方根，实数或复数）然后一个实根或主根是：\[ x = -\frac{1}{3a} \left( b + C + \frac{\Delta_0}{C} \right) \]当 \( \Delta \geq 0 \)，这个给出实根；当 \( \Delta < 0 \)，\( \sqrt{\Delta} \) 虚数，但 \( C \) 和 \( \frac{\Delta_0}{C} \) 是共轭，所以和是实数。但在实数计算中，当 \( \Delta < 0 \)，使用三角形式更好。对于回答，我可以给出卡丹公式或这个公式。我选择第一个方法，因为它更常见。所以，我会写：对于一元三次方程 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) (\( a \neq 0 \))，求根公式如下：1. 计算：\[ p = \frac{b}{a}, \quad q = \frac{c}{a}, \quad r = \frac{d}{a} \]2. 计算：\[ m = q - \frac{p^2}{3} \]\[ n = r - \frac{p q}{3} + \frac{2 p^3}{27} \]3. 计算判别式：\[ D = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 \]4. 计算：\[ y = \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} + \sqrt{D} } + \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} - \sqrt{D} } \]5. 则一个实根为：\[ x = y - \frac{p}{3} \]但注意，当 \( D < 0 \) 时，方程有三个实根，但此公式涉及复数，需要取立方根的主值。实际应用中，当有三个实根时，可使用三角形式。为了完整，我可以给出三角形式当 \( D < 0 \)。当 \( m < 0 \) 且 \( D < 0 \)（即有三个实根），则根为：\[ y_k = 2 \sqrt{ -\frac{m}{3} } \cos\left( \frac{1}{3} \arccos\left( \frac{3n}{2m} \sqrt{ -\frac{3}{m} } \right) - \frac{2\pi k}{3} \right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \]然后 \( x_k = y_k - \frac{p}{3} \)在三角形式中，参数是 \( \theta = \arccos\left( \frac{3n}{2m} \sqrt{ -\frac{3}{m} } \right) \)，然后 \( y_k = 2 \sqrt{ -\frac{m}{3} } \cos\left( \frac{\theta + 2\pi k}{3} \right) \) 或类似，我需要确认。标准形式是：设 \( \theta = \arccos\left( \frac{ -\frac{n}{2} }{ \sqrt{ -\left( \frac{m}{3} \right)^3 } } \right) \)因为当 \( D < 0 \)，\( \left( \frac{n}{2} \right)^2 < - \left( \frac{m}{3} \right)^3 \)，所以 \( \frac{ -\frac{n}{2} }{ \sqrt{ -\left( \frac{m}{3} \right)^3 } } \) 在 [-1,1] 内。设 \( R = \sqrt{ -\frac{m}{3} } \)，然后 \( \cos \phi = \frac{ -n/2 }{ R^3 } \)，因为 \( \left( \frac{m}{3} \right)^3 = \left( -3R^2 \right)^3 / 27 = -27 R^6 / 27 = -R^6 \)，所以 \( \sqrt{ -\left( \frac{m}{3} \right)^3 } = \sqrt{ R^6 } = R^3 \) 因为 R 实数。所以 \( \cos \phi = \frac{ -n/2 }{ R^3 } \)然后 \( y_k = 2 R \cos\left( \frac{\phi + 2\pi k}{3} \right) \) for k=0,1,2.是的。但在回答中，我可能不需要这么详细。既然用户问“求根公式”，我可以提供卡丹公式，并简要说明。最终，我会写出公式。【回答】一元三次方程的求根公式（也称为卡丹公式，Cardano's formula）用于求解标准形式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)) 的根。公式较为复杂，涉及判别式和可能的多值计算（如实根或复根）。以下是详细步骤和公式。注意：当判别式为负时，方程有三个不同的实根，但公式涉及复数运算；此时可以使用三角形式避免复数。### 求根公式步骤设方程为 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)，\( a \neq 0 \)。1. **化为简约形式**（消除二次项）：   - 计算系数：     \[     p = \frac{b}{a}, \quad q = \frac{c}{a}, \quad r = \frac{d}{a}     \]   - 方程变为 \( x^3 + p x^2 + q x + r = 0 \)。   - 作代换 \( x = y - \frac{p}{3} \)，得到简化方程：     \[     y^3 + m y + n = 0     \]     其中：     \[     m = q - \frac{p^2}{3}, \quad n = r - \frac{p q}{3} + \frac{2 p^3}{27}     \]2. **计算判别式**：   \[   D = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3   \]   - 判别式 \( D \) 决定根的类型：     - \( D > 0 \)：一个实根，两个共轭复根。     - \( D = 0 \)：三个实根，至少两个相等。     - \( D < 0 \)：三个不同的实根（但公式涉及复数，需特殊处理）。3. **求根公式（卡丹公式）**：   - 计算：     \[     y = \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} + \sqrt{D} } + \sqrt[3]{ -\frac{n}{2} - \sqrt{D} }     \]     - 这里的 \( \sqrt[3]{\cdot} \) 表示立方根（取主值），\( \sqrt{\cdot} \) 表示平方根。     - 当 \( D < 0 \) 时，\( \sqrt{D} \) 是虚数，但最终虚部会抵消，得到实根（计算复杂）。   - 则原方程的一个根为：     \[     x = y - \frac{p}{3}     \]   - 其他两个根可以通过因式分解（除以线性因子）或解二次方程得到。4. **当 \( D < 0 \) 时的三角形式**（推荐，避免复数）：   - 如果 \( D < 0 \)（即有三个实根），设：     \[     R = \sqrt{ -\frac{m}{3} }, \quad \phi = \arccos\left( \frac{ -n/2 }{ R^3 } \right)     \]     - 其中 \( \phi \) 在 \([0, \pi]\) 范围内。   - 则三个实根为：     \[     y_k = 2 R \cos\left( \frac{\phi + 2\pi k}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2     \]   - 对应的原方程的根为：     \[     x_k = y_k - \frac{p}{3}, \quad k = 0, 1, 2     \]### 示例说明考虑简单方程 \( x^3 - 3x + 2 = 0 \)（即 \( a=1, b=0, c=-3, d=2 \))。- \( p = 0, q = -3, r = 2 \)。- \( m = -3 - \frac{0^2}{3}