物理

[强基/竞赛]关于数学归纳法

置顶：没人做练习题吗😭😭😭。

0.序言

数归可以说是我最喜欢的解题思想，没有之一(好吧可能还有组合零点定理，富比尼原理，母函数法，Abel变换......)。

首先这是极其好用的，而且变化很多，足以适应各种问题。它的运用归纳假设的特性也足以支持我们进行“先猜后证”的操作。

本文难度位于强基到二轮之间，建议搭配R&B音乐食用。(作者默默地开始播放《黑色毛衣》)

1.(第一)数学归纳法

鉴于这个原理的说明涉及Peano公理，可能导致篇幅冗长，这里不再做解释。以及这个方法已经很熟知了，所以不再赘述基本过程。

我们直接看题。

这里我们不难看出，用二项式定理放缩的方法(即图中归纳法做法)其实借助了归纳假设进行结论的加强，起到了很好的效果。

那么，这里就引出了数学归纳法的一个重要思想：尽量最大化地运用归纳假设。

因为归纳法的特别之处就在于可以借助归纳假设，相当于是先“借用”了一个你还未证出的结论，去推出这个结论的下一级。

如果你发现一道题归纳假设几乎帮不上忙(比如各阶命题之间独立)，那就基本可以排除归纳做法了，因为没有归纳假设，数学归纳法其实就是没什么用。

2.第二数学归纳法

我们给出这种归纳法的基本逻辑。

1. 先证明命题对n(n≥1)成立。
2. 归纳假设：假设命题在n≤N≤k(k≥n)处成立。
3. 证明命题在k+1处也成立。

由上就有对一切正整数，命题都成立。这就是第二数学归纳法，用于处理一些单单假设命题在k处成立无法解决的问题。这些问题可能涉及数列的高阶线性递推或者递降法(在数论问题中可以看到)。