[论坛资料室]Cauchy-Riemann方程的平方可积估计：一维Hörmander估计的无界情形

前排提醒：该课题难度较大。

前排再提醒：这个课题更新慢，先鸽。

$\text{Cauchy-Riemann}$方程，又称$\overline{\partial}\text{-}$方程，是复分析中判定全纯函数的重要方程。其衍生出的$\overline{\partial}\text{-}$问题是分析学的重要课题。学习$\text{Cauchy-Riemann}$方程的$L^2$估计，请具备：

完善的实分析基础；

适当的多变复函数分析；

足够的泛函分析基础；

部分微分几何与复流形基础；

必备的偏微分方程与函数空间理论基础。

接下来我们开始。本节比较短，我们将把一维$\text{Hörmander}$估计推广到无界情形，得到所谓的一维$\text{Hörmander}$估计定理。

在上一节中，我们学习了一维情形的$\text{Hörmander}$估计，通过加权方法$\text{Risez}$表示定理方法，证明了有界空间$\Omega\subset\mathbb{C}$上$\text{Cauchy-Riemann}$方程解的存在性和唯一性，并得出弱解$u$的估计

$$\int_\Omega|u|^2e^{-\varphi}\leq\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

事实上，$\text{Hörmander}$也得出了无界区域的估计结论，也就是所谓的一维$\text{Hörmander}$估计定理：

设$\Omega$为$\mathbb{C}$中一个区域，$\varphi$为$\Omega$上的一个强次调和函数。设$v$为$\Omega$上一个可测函数且满足

$$\frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\bar{z}}}\in L^1(\Omega)$$

那么方程$\partial_{\overline{z}} u = v$在分布意义下存在解$u$，使得

$$\int_{\Omega} |u|^2 e^{-\varphi} \leq \int_{\Omega}\frac{|v|^2e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

$\text{Proof}$：

取一列有界开集$\{\Omega_j\}_{j=1}^{\infty}$满足：

$$\Omega_j \subset \subset \Omega_{j+1}$$

$$\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty} \Omega_j$$

对每个$\Omega_j$，由前文所得的局部理论，存在弱解$u_j \in L^2_\varphi(\Omega_j)$满足：

$$-\int_{\Omega_j}u\partial_{\overline z}\overline f=\int_{\Omega_j}v\overline f$$

且具有估计：

$$\int_{\Omega_j} |u_j|^2 e^{-\varphi} \leq \int_{\Omega_j}\frac{e^{-\varphi} |v|^2}{\varphi_{z\overline{z}}} \leq \int_{\Omega}\frac{e^{-\varphi} |v|^2}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

显然序列$\{u_j\}$是有界序列。根据$\text{Banach-Alaoglu}$定理，有界点列必存在弱收敛子序列。于是存在子列$\{u_{j_k}\}$使得

$$u_{j_k}\rightharpoonup u\quad (L^2_\text{loc}(\Omega))$$

那么我们不难得到对于任意$f\in C_0^\infty(\Omega)$，

$$\lim_{k\to\infty}\int_{\text{supp}(f)}u_{j_k}\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}=\int_{\text{supp}(f)}u\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}$$

易证上面的积分泛函一定是$L^2_\text{loc}(\Omega)$的，所以不违背$u$的$L^2_\text{loc}(\Omega)\text{-}$弱收敛性，且自然下式成立：

$$\lim_{k\to\infty}\int_\Omega u_{j_k}\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}=\int_\Omega u\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}$$

因为$\Omega_{j_k}$随$k$的增大逼近$\Omega$，故必存在正整数$N$，使$\text{supp}(f)\subset\Omega_{j_N}\subset\subset \Omega$。于是

$$\int_\Omega u\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}=\lim_{k\to\infty}\int_\Omega u_{j_k}\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}$$

$$=\lim_{k\to\infty}\int_{\Omega_{j_N}} u_{j_k} \overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^* f} e^{-\varphi}=\int_{\Omega_{j_N}} u \overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^* f} e^{-\varphi}$$

$$=\int_{\Omega_{j_N}}v\overline fe^{-\varphi}=\int_\Omega v\overline fe^{-\varphi},\quad \forall f\in C_0^\infty(\Omega)$$

由上一章的内容，我们知道上式

$$\int_\Omega u\overline{(\partial_{\overline{z}})_\varphi^*f}e^{-\varphi}=\int_\Omega v\overline fe^{-\varphi},\quad \forall f\in C_0^\infty(\Omega)$$

等价于

$$-\int_{\Omega_j}u\partial_{\overline z}\overline f=\int_{\Omega_j}v\overline f,\quad \forall f\in C_0^\infty(\Omega)$$

那么$u$就是$\text{Cauchy-Riemann}$方程

$$\partial_{\overline{z}}u=v$$

在$\Omega$上的全局弱解。

下面我们证明对$u$的估计。对任意紧集$\omega\subset\Omega$，根据弱收敛的下半连续不等式，我们有

$$\int_\omega |u|^2 e^{-\varphi} \leq \liminf_{k\to \infty} \int_\omega |u_{j_k}|^2 e^{-\varphi}$$

当$k\to\infty$时，$j_k\to\infty$，此时我们也有$\omega\subset\Omega_{j_k}$，于是

$$\liminf_{k\to \infty} \int_\omega |u_{j_k}|^2 e^{-\varphi} \leq \liminf_{k\to \infty} \int_{\Omega_{j_k}} |u_{j_k}|^2 e^{-\varphi}$$

$$\leq \liminf_{k\to \infty} \int_{\Omega_{j_k}} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z \overline{z}}} \leq \int_\Omega\frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z \overline{z}}}$$

令$\omega\to \Omega$，我们就得到弱解$u$的估计：

$$\int_\Omega |u|^2 e^{-\varphi}=\int_\Omega\frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z \overline{z}}}$$

$$\text{Q.E.D}$$

（本章完）