物理

【论坛资料室】函数与极限(2)——数列与函数的极限

$\Huge{更新进度：\color{cyan}{100\%}}$

$\color{red}{[2025.7.18已更新]}$

————————————————————————————————————以下是正文————————————————————————————————————

$\Huge{新手篇(1)}$

$\huge{引言}$

入门篇

我们在小学二年级的时候就学过数列，我们见过各种数列

主播主播，我还没学过🤡，怎么办🤔

建议回炉重造🤓

很多的数列就非常有规律啊，比如说下面几个👇：

$1，2，3，4，5，6\cdots ；$

$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}，\frac{3}{4}，\frac{4}{5}，\frac{5}{6}，\frac{6}{7}\cdots ；$

$1，-1，1，-1，1，-1\cdots$

望着那向远方的无穷延伸的数列，你是否曾经遐想过：

它们在无穷远的地方，会怎样？

当数列变成函数，又会怎样？

如果不向远方，而向未知——一些没有被定义的区域，又会怎样？

极限，启动！

$\huge{Part~01.数列的极限}$

$\LARGE{§_1.数列极限的定义}$

如果有数列$\{ x_n\}$，当$n$趋于无穷时，$x_n$是否能无限趋近于一个常数🤔？

我们先看看柯西给出的数列极限定义🤓：

如果有数列$\{ x_n\}$，当$n$趋于无穷大时，$x_n$无线逼近一个常数，这个常数就是$\{ x_n\}$的极限.

主播主播，“无限逼近”还是太抽象了，有没有更严谨的说法推荐一下🤧？

有的兄弟，有的，这是德国数学家魏尔斯特拉斯$(Weierstrass)$给出的数列极限定义：

设$\{ x_n\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$ε$，总存在正整数$N$，使得当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt ε$成立，那么称$a$是数列$\{ x\}$的$\color{blue}{极限}$，或者称数列$\{ x\} \color{blue}{收敛于}$ $a$，记为$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，或$x_n\to a(n\to \infty )$

能不能简洁一点呢？也是可以滴🤓

$\lim_{n\to\infty}x_n=a\iff ∀ε\gt 0，∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$，有$|x_n-a|\lt ε.$

这看起来更抽象了🤢，到底是什么意思？

我们可以这样理解$\sout{这一坨}$它：

众所周知，$|a-b|$代表$a$与$b$的距离，

我们想让数列$\{ x_n\}$的项无限逼近它的极限$a$，即当$n$趋近于无穷大时，$|x_n-a|$趋近于$0$.

趋近于0就要很小，我来举个🌰：假设数列$\{ x_n\}$的通项为$\frac{(-1)^n}{n}.$

我们很容易发现$x_n$是趋近于$0$的，如果让$|x_n-a|\lt 0.3$，那么不难发现第$3$项后面的项全部满足；

同样地，让$|x_n-a|\lt 0.01$，第$100$项后面的项也全部满足.

不管要求它们的距离小于多小的一个数，总能找到从某一项开始，后面的项满足这个条件.这，便是数列极限的定义🤓

$\textbf{例1}.$若$x_n=\frac{1}{(n+1)^2}$，证明$\lim_{x_n\to\infty}=0.$

$\color{skyblue}{首先算出|x_n-0|=\frac{1}{(n+1)^2}，为了∀ε\gt 0，\frac{1}{(n+1)^2}\lt ε，}$

$\color{skyblue}{我们就能得到n应该满足n\gt\frac{1}{\sqrt{ε}}-1.}$

接下来就可以按照定义来证明力！🤓

$\textbf{证：}∀ε\gt 0$，取$N=\left[\frac{1}{\sqrt{ε}}\right]$

$\quad $当$n\gt N$，有$|x_n-0|=\frac{1}{(n+1)^2}\lt ε.$

即$\lim_{n\to\infty}x_n=0$

$Q.E.D.$

$\textbf{例2.}$求数列$\{\frac{2^n+1}{3^n}\}$的极限.

$\color{skyblue}{我们先来猜一下，它的极限应该是0，那么∀ε\gt 0，|\frac{2^n+1}{3^n}|\lt ε.}$

$\color{skyblue}{接下来就要求n的取值，但是分子上的“+1”会让整体有些麻烦，由于n\ge 1，于是我们可以让\frac{2^n+1}{3^n}\lt 2(\frac{2}{3})^n\lt ε.}$

$\color{skyblue}{然后就能解得n\gt\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}.}$

$\textbf{解：}∀ε\gt 0$，取$N=\max\{\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right] +1，1\}$

$\quad $则$|x_n|=x_n\lt x_{{}_N}\le\frac{2^{\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right]+1}+1}{3^{\left[ \frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right]+1}}\lt 2\cdot (\frac{2}{3})^{\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}}=ε$.

$\therefore\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n}=0.$

主播主播，为什么$N$不取$\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right] +1$，而要取它和$1$的最大值呢🤔？

因为一旦$ε$过大，$N$就会变成一个负数🤡！那么就不符合定义，证明存在漏洞.

这里的过程比较严谨，但是我们常见的许多极限都是一眼就能看出来的.

$\LARGE{§_2.收敛数列的性质}$

收敛数列有以下4个重要性质😋：

$\textbf{\large{性质1.唯一性}}$

若数列$\{ x_n\} $收敛，则它的极限唯一.

显然这个结论是成立的，没有一个数列会同时逼近两个不等的数♿

要严谨证明，我们可以用反证法🤓👍

$\textbf{证：}$设$\lim_{n\to\infty}x_n=a，\lim_{n\to\infty}x_n=b，a\gt b$，取$ε=\frac{a-b}{2}.$

$\therefore ∃N_1∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_1$，有$|x_n-a|\lt\frac{a-b}{2}$

$\implies x_n\gt\frac{a+b}{2}$

同理$∃N_2∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_2$，有$|x_n-b|\lt\frac{a-b}{2}$

$\implies x_n\lt\frac{a+b}{2}$

取$N=\max\{ N_1，N_2\}$ ，当$n\gt N$时，$\frac{a+b}{2}\lt x_n\lt\frac{a+b}{2}.$

矛盾！

$\therefore $若数列$\{ x_n\} $收敛，则它的极限唯一.

$Q.E.D.$

$\textbf{\large{性质2.有界性}}$

若数列$\{ x_n\} $收敛，则$\{ x_n\} $有界.

主播主播，什么是数列有界性🤔？

和函数的有界性一样，对于数列$\{ x_n\} ，∃M\gt 0$，使$|x_n|\le $M，则称$\{ x_n\}\color{blue}{有界}$，反之称它$\color{blue}{无界}$.

$\textbf{证：}$设$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，对于$ε=1，∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt 1.$

即$|x_n|\le |x_n-a|+|a|\lt |a|+1$

取$M=\{ |x_1|，|x_2|，\cdots ，|x_{{}_N}|，|a|+1\} $，则$∀x_n$，满足$|x_n|\le M.$

$Q.E.D.$

$\large{\color{red}{但是！}}$如果数列$\{ x_n\}$有界，却不一定代表他收敛，举个🌰：数列$\{ x_n\} =(-1)^n$，它每一项的值在-1和1两数间来回跳动，显然发散♿♿♿♿♿♿

$\textbf{\large{性质3.保号性}}$

若$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$x_n\gt 0(x_n\lt 0).$

$\textbf{证：}$若$a\gt 0$，取$ε=\frac{a}{2}，∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt \frac{a}{2}，$

则$x_n\gt a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\gt 0.$

同理$a\lt 0$时亦成立.

$Q.E.D.$

这条性质让机智的你不禁思考🙃：你如果反过来，命题还成立吗🤔？

很好🤓👍！恭喜你——解锁隐藏推论♿♿♿♿♿！

$\large{\textbf{推论3} '\textbf{.}}$

若$\lim_{n\to\infty}x_n=a，∃N\in\mathbb{N}$，当$n\gt N$时，有$x_n\ge 0(x_n\le 0)，则a\ge 0(a\le 0).$

毒者可以直接证明一下，证一下就发现：证不出来🤓👍，这时就要请出反证法💦💦

$\textbf{证：}$假设命题不成立，即当$n\gt N$时，若$x_n\ge 0，a\lt 0.$

取$ε=-\frac{a}{2}$，则$∃N_ε∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，

有$|x_n-a|\lt -\frac{a}{2}.$

$\therefore x_n\lt\frac{a}{2}\lt 0.$

又$x_n\ge 0$，所以命题不成立.

同理，当$n\gt N$时，若$x_n\le 0，a\lt 0.$

$\quad ~~~Q.E.D.$

接下来留个小问题给毒者思考：为什么保号性中$a$和$x_n$不能取0，而它的推论却可以🤔？

$\textbf{\large{性质4.保不等式性}}$

若数列$\{ a_n\}\{ b_n\}$均收敛，$∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$a_n\ge b_n$，则$\lim_{n\to\infty}a_n\ge\lim_{n\to \infty}b_n.$

我们依然使用反证法🤓👍(太好用力🤚😭🤚)

$\textbf{证：}$令$\lim_{n\to\infty}a_n=a，\lim_{n\to\infty}b_n=b$，假设$a\lt b.$

取$ε=\frac{b-a}{2}$，则$∃N_1，N_2∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_1，|a_n-a|\lt ε$，当$n\gt N_2，|b_n-b|\lt ε.$

取$N=\max\{ N_1，N_2\} $，则$n\gt N$时，有

$a_n\lt ε+a=\frac{a+b}{2}，b_n\gt -ε+b=\frac{a+b}{2}.$

于是$a_n\lt b_n$，矛盾！

$\therefore a\ge b.$

$Q.E.D.$

$\textbf{\large{性质5.子数列收敛性}}$

若数列$\{ x_n\}$收敛于$a$，则它的任一子数列亦收敛于$a.$

主播主播，子数列又是什么🤔？

就是在一个数列$\{ x_n\}$中任意抽取无穷项并保持它们在$\{ x_n\}$中的先后顺序，则得到的新数列称为$\{ x_n\}$的$\color{blue}{子数列}$.

举个🌰，在数列$\{ x_n\}$中，第一次抽取$x_{n_1}$，第二次抽取$x_{n_2}$，第三次抽取$x_{n_3}\cdots\cdots$这样抽取无穷项，就得到了数列$\{ x_n\}$的子数列$\{ x_{n_k}\}$，显然我们知道$n_k\ge k.$

愉快的证明时间♿

$\textbf{证：}$设数列$\{ x_{n_k}\}$为数列$\{ x_n\}$的一子数列.

$\because \lim_{n\to\infty}x_n=a$

$\therefore ∀ε\gt 0，∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt ε.$

则当$k\gt N$时，$n_k\gt n_N\ge N$，于是$|x_{n_k}-a|\lt ε$

$\therefore\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a.$

$Q.E.D.$

接下来就是——$\color{red}{函数极限♿♿♿♿♿♿}$

$\huge{Part~02.函数的极限}$

$\LARGE{§_1.函数极限简单小定义}$

我们要研究函数的极限，主要分两种情形：

$(1).$自变量趋于有限值；

$(2).$自变量趋于无穷大.

当然这两种情形的定义还是$Weierstrass$提出来的💦

如果接下来主播的发疯操作打败了你💦，就来睿频$Weierstrass$吧🤓👍！

精彩内容，现在开始♿♿♿♿！

$\Large{\textbf{1.自变量趋于有限值的函数极限}}$

首先我们了解一些非常简单的东西：

$\textbf{定义：}$

$\bullet\textbf{邻域}$  以点$x_0$为中心的任何开区间称为$x_0$的$\color{blue}{邻域}$，记作$U(x_0).$

$\bullet\textbf{δ邻域}$  设$δ\gt 0$，则集合$(x_0-δ，x_0+δ)$称为点$x_0$的$\color{blue}{δ邻域}$，记作$U(x_0，δ).$其中点$x_0$称为$\color{blue}{邻域中心}$，$δ$称为$\color{blue}{邻域半径}$，$(x_0-δ，x_0)$称为$\color{blue}{左邻域}$，$(x_0，x_0+δ)$称为$\color{blue}{右邻域}$.

$\bullet\textbf{去心δ邻域}$  集合$(x_0-δ，x_0)\cup (x_0 ，x_0+δ)$称为点$x_0$的$\color{blue}{去心δ邻域}$，记作$\overset{\circ}{U}(x_0)$.

接下来就来看看定义😋：

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域有定义，若存在常数$a$，对于任意的正数$ε$，总存在正数$δ$，使当$x$满足$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，函数值$f(x)$满足$|f(x)-a|\lt ε$，那么称$a$为$\color{blue}{函数f(x)当x\to x_0时的极限}$，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=a或f(x)\to a(x\to x_0).$

当然也可以更抽象♿♿♿♿♿

$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff ∀ε\gt 0，∃δ\gt 0，当x∈\overset{\circ}{U}(x_0，δ)，|f(x)-a|\lt ε.$

还是先通俗地理解一下🤓👍：

我们来举个例子：$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

它算出来结果为$2$，但这个函数在$x=1$时是没有定义的.

我们最终要的是这个函数与$2$的距离小于一个任给的正数$ε$，如果让$ε=1$，我们可以找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$1$小.

如果缩小$ε$到$\frac{1}{10}$，同样能找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$\frac{1}{10}$小.

再缩小$ε$到$\frac{1}{114514}$，我还能找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$\frac{1}{114514}$小.

$\cdots\cdots$

不管我把$ε$变得多小，都可以找到一个去心邻域，让$x$在这个区间时，函数值与极限的距离比$ε$小.

然后，你就可以理解力🤓👍

主播主播，我还是看不懂，怎么办🤔？

你可以选择再看一遍🤓👍

这时有的人就要问了：那说到底，为什么$x$在一个去心邻域呢🤔？

问得好！这是因为$x$在去心邻域就可以满足$0\lt |x-x_0|\lt ε$，也就是$x$其实取不到$x_0$，所以$x_0$处有没有定义和$x$无关😋.

它只是从两端逼近而已，并不是说直接取🤓👍

$\textbf{例3.}$已知函数$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}，\quad x\ne 1\\2，\quad x=1\end{cases}$，求$\lim_{x\to 1}f(x)$.

$\color{skyblue}{这是一道很典型的题目，显然答案并不是2，因为x在1的两侧，不能直接取到2，所以极限应该是\frac{1}{2}.}$

$\color{skyblue}{所以我们只要根据定义把过程写一下即可😋.}$

$\textbf{解：}∀ε\gt 0$，取$δ=2ε$，当$0\lt |x-1|\lt δ，x\ne 1$，有$|f(x)-\frac{1}{2}|=|\frac{x-1}{2}|\lt ε.$

$\therefore \lim_{x\to 1}f(x)=1.$

这很简单，只是试试水💦，再来水一题🤓👍

$\textbf{例4.}$证明：当$x_0\gt 0$时，$\lim_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0}.$

$\color{skyblue}{我们首先算出|f(x)-\sqrt{x_0}|=|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|，∀ε\gt0，为了当0\lt |x-x_0|\lt δ，|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|\lt ε，}$

$\color{skyblue}{那δ应该取什么呢🤔？我们可以放缩，让|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|\le \frac{1}{\sqrt{x_0}}|x-x_0|\lt ε，这样就可以让δ=\sqrt{x_0}ε.}$

$\color{skyblue}{\large{但是！}}$ $\color{skyblue}{ε是任意的，δ不是任意的啊🤡！太大会超出定义域，跑到负数去！为了避免，取δ=\min\{x_0，\sqrt{x_0}ε\}}$

$\textbf{证：}∀ε\gt 0$，取$δ=\min\{x_0，\sqrt{x_0}ε\}$，

则当$0\lt |x-x_0|\ltδ$时，有$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\le \frac{1}{\sqrt{x_0}}|x-x_0|\lt ε.$

于是$∀x_0\gt 0，\lim_{x\to x_0}\sqrt{x}=x_0$.

$Q.E.D.$

这是，有些注意力极强的人就发现了：为什么例4的前提是$x\gt 0$🤔？难道说，$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}$不存在🤔？

$\color{red}{没错！🤓👍}$就是不存在！函数的极限要从两边趋近，but，当$x_0=0$时，左边没有定义！

主播主播，那有没有只从一边趋近的呢💦？

有的兄弟，有的，这样的极限定义一共有$\sout{九个}$两个，它们分别是左极限和右极限，定义如下👇：

$∀ε\gt 0，∃δ\gt 0$，当$x_0-δ\lt x\lt x_0，|f(x)-a|\lt ε$，则称$a$为函数$f(x)$当$x\to x_0$时的$\color{blue}{左极限}$，记作$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=a$或$f(x_0^-)=a.$

$∀ε\gt 0，∃δ\gt 0$，当$x_0\lt x\lt x_0+δ，|f(x)-a|\lt ε$，则称$a$为函数$f(x)$当$x\to x_0$时的$\color{blue}{右极限}$，记作$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a$或$f(x_0^+)=a.$

非常好理解，我就不过多赘述力💦💦💦

$\Large{\textbf{2.自变量趋于无穷大的函数极限}}$

先看定义👇，你看完就会发现一些神奇的东西🤓👍

$\textbf{定义：}$

设函数$f(x)$当大于某一整数时有定义，若存在常数$a$，对于任意的$ε\gt 0$，总存在$X\gt 0$，使得当$|x|\gt X$时，对应的函数值总满足$|f(x)-a|\lt ε$，那么常数$a$,就叫做$\color{blue}{函数f(x)当x\to\infty 时的极限}$，记作$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$或$f(x)=a(x\to\infty ).$

也可以简单表达为👇：

$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\iff ∀ε\gt 0，∃X\gt 0$，当$|x|\gt X，|f(x)-a|\lt ε$.

好，你发现了什么🙃？

这定义几乎和数列极限的定义一模一样♿！

但是唯一不同的是数列里的$x_n$变为了$|x|$，这又是怎么回事🤔？

因为数列$\{ x_n\}$中都是$n∈\mathbb{N}^*$，函数就不同了，无穷大分为$+\infty$和$-\infty$，没有规定$x$向哪个方向，于是就要用$|x|$🤓.

但在写过程的时候，不一定非要写$|x|\gt X$，视题目给的情况而定，比如$x\to -\infty$时，变为$x\lt -X$🤧.

接下来就是$\sout{小牛试刀}$小试牛刀环节！

$\textbf{例5.}$证明$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$.

$\color{skyblue}{我们要使∀ε\gt 0，∃X\gt 0，当|x|\gt X时，|\frac{1}{x}-0|\lt ε，就能得到应当|x|\gt\frac{1}{ε}，所以取X=\frac{1}{ε}.}$

$\textbf{证：}∀ε\gt 0$，取$X=\frac{1}{ε}$，

当$|x|\gt X$时，有$|\frac{1}{x}-0|=|\frac{1}{x}|\lt ε$.

$\therefore\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$.

$Q.E.D.$

如果从几何角度看待$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，把它的图象画出来，你会发现越往两端延伸，图像越接近水评，我们称直线$y=a$是函数$f(x)$图象的$\color{blue}{水平渐近线}$.

$e.g.$直线$y=0$就是函数$y=\frac{1}{x}$的水平渐近线.

—————————————————————————————————$\textbf{The~End}$—————————————————————————————————

$\color{coral}{欲知后事如何，请听下回分解}$

新手篇(2)