物理

#一些有趣的几何知识【分形&四维多胞体】

8.2多胞体一更

7.31分形三更

7.24修改与补充

7.21分形二更

7.4分形一更

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【正片开始】

分形部分：

分形，都认识吧？不认识的抬出去！(bushi

先认识下在上世纪70年代一己之力创立分形理论的---芒德布罗(Mandelbrot)

1924-2010，波兰的立陶宛裔犹太人😋

But分形的数学基础「芒德布罗集」，却是由芒德布罗，布鲁克斯，马蒂尔斯基等人分别建立完善的，属于是人类群星闪耀时了😋👍

有人就要说了：主播主播你讲了一堆废话，那分形到底是个啥？😡👊

定义扔在这里：

分形，具有以非整数维形式填充空间的形态特征。

说人话就是一个粗糙零碎的几何形状，能分出若干个部分，其中严格自相似分形分出的部分就是整体缩小的形状😋

然后我们来瞅一瞅实例：

非常经典的自相似分形---谢尔宾斯基三角形！

(((本图由百度百科提供～😋🙌

而它是怎么构造的呢？这里给出一种最简单直观的方法：

1. 画一个大的等边三角形

2. 连接各边中点，将大三角形分成4个较小的等边三角形

3. 移除中间的那个小三角形

4. 对剩下的3个小三角形重复步骤2-3

5. 无限重复

然后我们再来看一个例子：科赫雪花(由若干条科赫曲线组成)

构造步骤上图已经给出了😋

大概描述一下：

1.画一个等边三角形

2.将每条边三等分(的伊文斯)(bushi)，在中间段向外作等边三角形

3.移除中间段

循环此步骤就能看到上图的分形了👍

这里给出科赫曲线n次与∞次迭代：(为了方便修改放图片)

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大家最关注的是分形的维数吧？这也是分形最有魅力的地方😋

普通的拓扑维数是怎么定义的呢：

它是确定整个图形中点的位置所需要的参数的个数。

一个点不需要参数，就是0，

线需要一个参数来确定位置，就是1，

同理，平面需要两个参数，空间需要三个参数，我们所说的2维，3维便是这个😋👊

但分形显而易见无法用拓扑维数去判定，于是豪斯多夫在1910年提出了分形维的概念！

豪斯多夫维数(Hausdorff dimension)，其描述了分形的复杂性🤔

这里就只给出自相似分形维数的公式了😎🙌

接下来，各位来算一算科赫雪花的维数吧～😋👍

这真不难吧✋😰✋

1.2619～

也表明了科赫雪花周长无限长，细节无限丰富，但面积有限💦

通过公式，就能算出自相似分形的维数啦～知道子部分数量N与缩放比r就能代入公式了😋

第一个介绍的谢尔宾斯基三角形如下：

如果要计算非严格自相似分形，如地形，推荐使用盒维数（Box-counting Dimension）计算🤓👊

公式如下，略显复杂💦

这里就不给出计算示例了，大家一般用第一种就可以了💦

也不知道该说点啥了，看看分形在自然科学中的应用😋👍

生物学：

血管系统：分形分支优化氧气输送（维数 ≈ 2.7）

肺支气管：自相似结构最大化表面积（人类肺维数 ≈ 2.97）

地球科学：海岸线测量（芒德布罗1967）：英国海岸线维数 ≈ 1.25，长度随测量尺度增大而发散。

物理学：

渗流理论：临界状态下孔隙的分形维数。

布朗运动：轨迹的盒维数 = 2（尽管拓扑维数为 1）🤔

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还有分形在技术领域的应用😋

计算机图形学：

地形生成：中点位移法（Midpoint Displacement）模拟山脉（维数可控）

特效设计：火焰、云朵的粒子系统（基于 IFS）

天线工程：

分形天线：利用自相似性实现多频段/小型化（如科赫曲线天线）

还是很超模的😰(Bushi

那分形就到这里了，接下来登场的是四维多胞体！

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------分

===================================================================割

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------线

四维多胞体部分：

来看看正多胞体吧，定义是是四维空间中的规则几何体，是三维正多面体的高维类比。

它们具有对称的胞，面，棱和顶点，其中的“胞”，就是三维的正多面体～😋

它们只有六种类型：正五胞体，正八胞体(超立方体)，正十六胞体，正二十四胞体，正一百二十胞体，正六百胞体。

如果我们想看到其在三维空间的类比，就要使用施莱格尔投影🤓👆

我们要在多胞体的外接球(当然对于四维，外接的是超球)上取一点作透视投影，就能出现它的三维投影。

再将三维投影投影到二维上，就能以图片的形式看到它了😋🙌

下次更新，我将详细讲述正五胞体并给出其投影，点个赞点个收藏支持一下谢谢😭

The end.