物理

[TINY NSD]电磁学和一点点非常基础的电动力学

（发现还够塞一个第四章，所以放里面了）

第一章 课内电磁学（必修三篇）

（由于不是主角，前两章会是高中课内的超级省流版，详细了解请参考教材）

物体可以通过多种方式带电，分为带正电和带负电

电荷量$q$可用于描述物体带电的多少，其单位为库仑（$C$）

宏观物体所带电荷量必然为元电荷$e$的整数倍，${e \approx 1.6 \times 10^{-19} C}$

称${\frac{q}{m}}$为一个物体的比荷，其中$q$为电荷量，$m$为该物体的质量

同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，作用力大小与距离平方成反比

满足公式${F=\frac{kq_1q_2}{r^2}，其中k为静电力常量，k \approx 9 \times 10^9 N \cdot m^2/C^2}$

在电场中同一位置，（试探）电荷所受静电力的大小与电荷成正比

定义电场强度${E=\frac{F}{q}}$，其方向与正电荷在该点受力方向一致

静电力做功与路径无关，可以定义电势能${E_p}$

在电场中同一位置，电荷的电势能与其电荷量成正比，定义电势${\phi=\frac{E_p}{q}}$

电场内两点电势的差值称为电压，${U_{12}=\phi_1-\phi_2}$

若空间中各点电场强度的大小和方向均相同，则称该电场为匀强电场

在匀强电场$E$中，沿电场线方向相距为$d$两点的电压${U=Ed}$，垂直电场线的平面上任两点电势相同

两导体之间可形成电容器，其储存的电荷与两端电压成正比

定义电容器的电容为${C=\frac{q}{U}}$，单位为法拉（$F$），${1F=1C/V}$

若两块正对的导体板中间填有均匀介质（含真空），形成的电容器称为平行板电容器

平行板电容器的电容为${C=\frac{\epsilon_rS}{4\pi kd}}$

其中${\epsilon_r}$称为相对介电常数，真空的相对介电常数为$1$；$S$为两板正对面积；$k$为静电力常量；$d$为两板间距离

在导体的横截面，定义电流$I$为单位时间通过该截面的电荷量，即${I=\frac{q}{t}}$

对于通有恒定电流的均匀导体，有${I=neSv}$，其中$n$为空间电子数密度，$e$为元电荷，$S$为横截面面积，$v$为电子运动速率

对于局部外电路的线性元件，电阻由欧姆定律定义：${R=\frac{U}{I}}$

电阻由材料自身性质决定，与长度成正比，横截面积成反比

定义电阻率${\rho=\frac{RS}{l}}$，电阻率仅受材料种类和温度的影响

局部外电路中电流做功${P=UI}$，产热功率${P_Q=I^2R}$

对于纯电阻电路（电能仅转化为热能），${P=P_Q}$

对于非纯电阻电路（电能部分转化为热能），$P$$\gt${P_Q}$

对于电源，定义电动势为将单位正电荷从负极搬运到正极非静电力做的功，即${\epsilon=\frac{w}{q}}$

（高中教材用$E$表示电动势，这里为与后文一致，统一用$\epsilon$）

单一电源的电路中，由能量守恒定律，可推得${U=\epsilon-Ir}$，其中$U$为路端电压，$r$为电源内阻，$I$为通过电源的电流，$\epsilon$为电源电动势

这一结论称为闭合电路欧姆定律

第二章 课内电磁学（选必二篇）

电流具有磁效应，产生磁场的方向遵从右手螺旋定则

有电流通过的导体在磁场中可能会受力，称为安培力

可将导体无限分割，每一小段可视为直线，称其长度与通过的电流乘积${I\Delta L}$为电流元

对于电流元${I \Delta L}$，当电流流向垂直于磁场时，受力大小${F=BI \Delta L}$，其中$B$为磁感应强度（单位：特斯拉$T$），$I$为电流强度，$L$为该段导体的长度

方向由左手定则决定：让磁感线垂直穿过左手手心，拇指与其余四指方向垂直，四指指向电流流向，则拇指指向受力方向

当电流流向平行于磁场时，导体不受力

一般地，可将磁场分解为与电流流向平行和垂直的方向，并进行计算

对于匀强磁场中一般的导体，分析其所受安培力时，可用从起点指向终点的直导线等效代替

磁场中运动的带电粒子会受磁场的作用力，称为洛伦兹力

当运动方向垂直于磁场时，受洛伦兹力大小${F=qvB}$，$q$为所带电荷量，$v$为运动速率，$B$为磁感应强度

方向由左手定则决定，等效电流流向与正电荷运动方向相同，负电荷运动方向相反

当运动方向平行于磁场时，不受洛伦兹力

一般地，仍可将磁场分解为平行和垂直两个方向，分析带电粒子的受力情况

安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质

对于垂直于匀强磁场的平面，称其磁通量${\Phi=BS}$，正负需事先约定

对于平行于匀强磁场的平面，磁通量为$0$

一般地，可将磁场分解，同时将平面无穷细分使之近似处于匀强磁场中，从而求出其磁通量

对于磁场中的导体线圈，其会自发地有抵抗磁通量变化的趋势，称为楞次定律

对于局部闭合电路中切割磁感线运动的导体，由楞次定律，其中会产生感应电流

若运动方向垂直于磁感线，则电流的方向遵从右手定则：磁感线垂直穿过手心，右手拇指与其余四指垂直，拇指指向相对于磁场的运动方向，则四指指向感应电流流向

此时感应电流产生的原因是由于切割磁感线运动的导体中产生了感应电动势，即使电路不闭合导致无感应电流，感应电动势依然存在，称为动生电动势

同时，变化的磁场中的闭合线圈中同样可能产生感应电流，其原因为其中产生了感应电动势，称为感生电动势

感应电动势满足法拉第电磁感应定律：${\epsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Deltat}}$，其中$n$表示线圈匝数，${\Delta\Phi}$表示短时间磁通量的变化量，${\Delta t}$表示极短的时间

感生电动势产生的原因是由于变化的磁场中产生了感生电场

若磁场方向始终不变或仅变为相反，且空间中各处的磁场在同一时刻始终相同，则可由右手螺旋定则确定感生电场方向：右手四指弯曲，拇指指向磁场变化方向的反方向，则四指弯曲方向为感生电场方向

对于两个线圈，一个线圈通变化电流后，其激发的变化的磁场会使另一个线圈中产生感应电流，称为互感

对于一个线圈，其中通有的变化电流会对自身激发出感应电动势，称为自感，此时的感应电动势称为自感电动势

自感电动势与${\frac{\Delta I}{\Delta t}}$成正比，记为${\epsilon =L \frac{\Delta I}{\Delta t}}$

其中${\Delta t}$为一段极短的时间，${\Delta I}$为这一段时间的电流变化量，$L$称为自感系数，单位为亨利（$H$），${1H=1 \Omega \cdot s}$

大小和方向随时间变化的电流称为交变电流，一种常见的交变电流是正弦式交变电流

交变电流周期$T$、频率$f$、角频率$\omega$满足关系${T=\frac{1}{f}}$，${\omega=2\pi f}$

可用有效值等效正弦式交变电流的热效应，有效值为交变电流峰值的${\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7}$倍

变压器利用互感原理工作，理想变压器无磁漏，无能量损失，两线圈电压比等于线圈匝数比

${LC}$振荡电路（不含电源）由电感线圈与电容器连接形成回路，角频率为${\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

第三章 微积分与矢量分析基础

OK在经历过无聊的高中物理提纲之后我们要进入正题了

首先，我们在高中数学就学过导数的概念

${对于f(x)，我们称x_0处的导数（瞬时变化率）为\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}在\Delta x趋于0}$时的极限值，若该极限存在

什么时候极限存在呢？简单来说，当${x无限趋近于x_0时，上述表达式无限趋近于某个特定值，那么极限就是存在的}$

（函数极限具体如何定义？一般用${\epsilon - \delta语言定义，非本文重点，不赘述，详见《极限与连续》}$）

${x_0}$可以是函数定义域内可导的任意一点，对于这些点，导数是自变量的函数，这样的函数仍称为导数（导函数），我们在高中把它记作${f’(x)}$

除了这种记法，其实还可以将${f’(x)写成\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}$

同时，我们还可以表示为${f(x)+C=\int f’(x)\mathrm{d}x}$，这称为不定积分

（${+C}$是什么意思？不定积分运算得到的不是一个函数，而是一系列函数，严格地说叫一族函数，彼此之间相差任意常数${C}$）

${定积分\int_a^b{f’(x)\mathrm{d}x}=f(b)-f(a)}$

我们注意到，以上的${f是与x有关的标量}$

然而，由于很多物理量都是矢量，只有上述内容是远远不够的

${那我们应该怎么表示与标量t相关的矢量呢}$

实际上，由于一般研究的范围都是三维空间（相对论不算），我们可以规定空间中的一组正交基底为${\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}}$

于是，我们就可以给出矢量函数的定义：

若${\mathbf{F}(t)=f_x(t)\mathbf{i}+f_y(t)\mathbf{j}+f_z(t)\mathbf{k}，则称\mathbf{F}为关于t的一个矢量函数}$

如果其各个分量都可导，很容易得到

${\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}f_x}{\mathrm{d}t}\mathbf{i}+\frac{\mathrm{d}f_y}{\mathrm{d}t}\mathbf{j}+\frac{\mathrm{d}f_z}{\mathrm{d}t}\mathbf{k}}$

以上内容仅仅涉及到一个自变量，对应关系分别为从标量到标量，从标量到矢量

但如果涉及到多个独立的自变量，或者输入的是一个矢量呢？

例如，如果${f或者\mathbf{F}}$同时跟${x, y, z}$三个空间坐标相关呢？

（事实上，这就是场的概念）

对于${标量函数f}$，我们引入偏导数的概念：

在求偏导的过程中，其他变量被视为固定值，仅仅对一个变量求导

例如，如果要求${f(x,y,z)对x的偏导，那么就需要将y和z视为常量}$

符号记作${\frac{\partial f}{\partial x}}$

目前，我们可以得到${\frac{\partial f}{\partial x}，\frac{\partial f}{\partial y}，\frac{\partial f}{\partial z}}$，但应该如何把它们综合起来呢

为此，我们引入梯度的运算：

${\operatorname{grad} f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}}$

（注意：这和矢量函数的求导公式看起来很像，但完全不是一回事！）

对于矢量函数，我们固然可以对其直接求偏导，但最后仍需考虑其分量

既然我们需要分别考虑${f_x, f_y, f_z}$的影响，我们又定义了两种运算：

（${\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}}$）

定义散度${\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}}$

旋度${\operatorname{rot}\mathbf{F}=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\mathbf{i}+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})\mathbf{j}+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\mathbf{k}}$

实际上，从这三种运算的形式出发，我们可以引入${nabla算子}$来简化表示

${nabla算子\nabla=\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}}$

这一算子具有微分和矢量的双重性质，以上运算都可以用${nabla算子}$表示

${\operatorname{grad} f=\nabla f，\operatorname{div} \mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}，\operatorname{rot} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}}$

需要注意的是，${nabla}$算子左乘标量或矢量，得到的是一般意义的标量或矢量；但${nabla}$算子右乘标量或矢量，得到的是新的算子：

${f\nabla=\mathbf{i}f\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}f\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}f\frac{\partial}{\partial z}}$

${\mathbf{F}\cdot\nabla=F_x\frac{\partial}{\partial x}+ F_y\frac{\partial}{\partial y}+F_z\frac{\partial}{\partial z}}$

${\mathbf{F}\times\nabla=(F_y\frac{\partial}{\partial z}-F_z\frac{\partial}{\partial y})\mathbf{i}+(F_z\frac{\partial}{\partial x}-F_x\frac{\partial}{\partial z})\mathbf{j}+(F_x\frac{\partial}{\partial y}-F_y\frac{\partial}{\partial x})\mathbf{k}}$

同时，我们定义标量和矢量的${Laplace算子\nabla^2}$：

${\nabla^2 f=\nabla \cdot (\nabla f)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}}$

在直角坐标系中，矢量${Laplace算子的\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}分量分别为对应分量的Laplace算子}$

其中的${\frac{\partial^2}{\partial x^2}}$等表示二阶偏导数，其实就是对导数再求一次导，实在无法理解的话先求梯度再求散度也可以

以下是一些运算律：

${\nabla (fg)=f \nabla g+g \nabla f}$

${\nabla \cdot(f\mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot \nabla f+f \nabla \cdot \mathbf{G}}$

${\nabla \times (f\mathbf{G})=\nabla f\times \mathbf{G}+f \nabla \times \mathbf{G}}$

${\nabla (\mathbf{F} \cdot\mathbf{G})=(\mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{G}+(\mathbf{G} \cdot\nabla)\mathbf{F}+\mathbf{F} \times( \nabla \times \mathbf{G})+\mathbf{G}\times(\nabla \times \mathbf{F})}$

${\nabla \cdot (\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F})-\mathbf{F}\cdot(\nabla \times \mathbf{G})}$

${\nabla \times (\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{F}(\nabla \cdot \mathbf{G})-\mathbf{G}(\nabla\cdot\mathbf{F})+(\mathbf{G} \cdot \nabla) \mathbf{F}-(\mathbf{F} \cdot\nabla)\mathbf{G}}$

${\nabla \times (\nabla \times\mathbf{F})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})-\nabla^2 \mathbf{F}}$

${\nabla \times \nabla f=0}$

${\nabla \cdot (\nabla \times\mathbf{F})=0}$

最后两条尤其重要，因为它说明了梯度场是无旋场（旋度为$0$），旋度场是无源场（散度为$0$）

反过来也成立，任何无旋场都可以写成梯度场，无源场都可以写成旋度场

这与后面电势，磁矢势，电标势的概念紧密相关

同时，我们可以通过两个定理，说明${nabla}$算子与积分的联系

高斯定理：${\oiint_S \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \mathrm{d} V}$

斯托克斯定理：${\oint_l \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}$

里面的一些奇怪的符号是怎么来的？其实就是积分，只不过把${\mathrm{d} x}$换成了其他微元，不同的积分号表示用于不同的场景

高斯定理中的${\mathrm{d} \mathbf{S}}$表示面积矢量微元，方向与面微元方向垂直；$V$是闭曲面$S$包围的区域

斯托克斯定理中的$l$为$S$的边界曲线，$l$正向由面积矢量的方向和右手螺旋定则确定（学过高中物理的不会不知道吧）

第四章 真空中的静电场

在补充了数学基础之后，现在可以进行物理讨论了

首先，我们要引入一个新的常量：

真空介电常量${\epsilon_0=\frac{1}{4\pi k}}$，其中$k$为静电力常量

已经有了静电力常量，为什么还要新给出这样的常量？因为${\epsilon_0}$的定义，让接下来很多问题的讨论变得更方便

${我们先观察著名的Maxwell方程中，关于电场有两个表达式（真空中）：}$

${\nabla \cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}}$

${\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}$

我们先观察第一个式子（电高斯定律），体电荷量密度${\rho}$表示什么意思？

对于一个空间，单位体积内的总电荷量就是体电荷量密度

如果我们不断缩小所取的空间，使之趋近于一个点，而得到的体电荷量密度也趋近于一个特定值，那么这一个极限值就是一点的体电荷量密度

用数学公式表达是这样的：${\iiint_V \rho\mathrm{d}V=\sum{q}}$

对于空间中所有点的体电荷量密度求积分，得到的结果恰恰是空间中的总电荷量，这并不难理解

那么，我们也可以用文字表述电高斯定律：空间内一点电场强度的散度为该点体电荷量密度除以真空介电常量

很明显，这里用${\epsilon_0表达比用k简洁得多}$

还能更加简洁吗？

在真空中，我们定义电位移${\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}}$

由于${\epsilon_0}$是常量，我们有${\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho}$

是不是看着更加清楚了？

当然，由高斯定理，我们也可以把它写成积分的形式：

${\oiint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \mathrm{d} V=\iiint_V \rho\mathrm{d} V=\sum{q}}$

这反映了真空中静电场的一部分性质

再观察第二个式子，先考虑磁场不随时间变化的情况（磁场随时间变化见第七章）

那么我们就有${\nabla \times \mathbf{E}=0}$

这说明此时的静电场是一个无旋场，必然可以写成一个标量场的梯度

我们称这个标量场为电势场，空间的每一点都对应某个电势

从高中简单的${U=Ed}$的表达式走来，我们终于看到了最一般的结果：

${\mathbf{E}=\nabla \phi}$

我们再看：由于此时的静电场是无旋场，那么利用斯托克斯定理：

${\oint_l \mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=\iint_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0}$

这意味着电场强度沿任何闭合曲线的环路积分都是0，这就是静电场环路定理

电高斯定律和静电场环路定理反映了电场的两大性质，可以用来描述电场

这里还要简单补充静电平衡的内容：

置于静电场中的导体，其内部有大量的带电粒子自由运动，平衡时，净电荷全部分布于导体表面，导体内部无净电荷！

这用电高斯定律很容易解释，不再多讲