物理

[论坛资料室]Ricci微积分（1）

$$\Large{\text{Ricci Calculus}}$$

$$\large{1.1\quad 什么是\text{Ricci}微积分？}$$

$\text{Ricci}$微积分（$\text{Ricci calculates}$）是张量分析的一种变体，适用于全局标架场不存在的情况，多用于电磁学，电动力学，广义相对论和微分流形。一般情况下张量分析是定义在平坦空间$\mathbb{R}^n$或者是普通曲面上的，这种张量分析被称为经典张量分析，在流体力学和连续质量力学中十分常见。经典张量分析的特点是，张量不分协变和逆变，只有分量才分。这是因为平坦空间或普通曲面上存在全局坐标系，以及可以供我们定义正交的基。于是我们可以跳过对偶空间的概念，直接用正交矢量来定义协变基，并且完全不需要指标升降算符，而是用度量张量来替换。这种张量分析大部分情况下是适用的，包括在诸如函数空间等$\text{Hilbert}$空间上，只要空间上存在全局适用的标架场，我们就可以使用经典张量分析的框架来定义张量。以$\text{Fock-Sobolev}$空间$\mathcal{F}^{2,m}(\mathbb{C}^n)$为例，尽管这个函数空间的定义和性质极其复杂，且是无穷维空间，但这个空间对每一个多重指标指定了一个归一化$\text{Hermite}$函数作为基，并且空间上配备内积。这样我们就不难定义$\text{Fock-Sobolev}$空间上的$m$阶张量积空间$(\mathcal{F}^{2,m}(\mathbb{C}^n))^{\otimes m}$，该空间中的元素称为$\text{Fock-Sobolev}$空间上的$m$阶张量。

而对于光滑流形来说，一般情况下全局标架场是不存在的。我们只能定义局部标架场（见我的专栏），这就使得我们在全局上无法定义“正交基”，经典张量分析自然就不适用了。这个时候我们就需要用$\text{Ricci}$微积分来分析了。$\text{Ricci}$微积分的特点是，张量分协变张量和逆变张量，并且它们同属于不同的张量积空间。