物理

[论坛资料室]Ricci微积分（1）

自由基能力有限，如有错误，欢迎指出！

$$\Large{\text{Ricci Calculus}}$$

$$\large{1.1\quad 什么是\text{Ricci}微积分？}$$

$\text{Ricci}$微积分（$\text{Ricci calculus}$）是张量分析的一种变体，适用于全局标架场不存在的情况，多用于电磁学，电动力学，广义相对论和微分流形。一般情况下张量分析是定义在平坦空间$\mathbb{R}^n$或者是普通曲面上的，这种张量分析被称为经典张量分析，在流体力学和连续质量力学中十分常见。经典张量分析的特点是，张量不分协变和逆变，只有分量才分。这是因为平坦空间或普通曲面上存在全局坐标系，以及可以供我们定义正交的基。于是我们可以跳过对偶空间的概念，直接用正交矢量来定义协变基，并且完全不需要指标升降算符，而是用度量张量来替换。这种张量分析大部分情况下是适用的，包括在诸如函数空间等$\text{Hilbert}$空间上，只要空间上存在全局适用的标架场，我们就可以使用经典张量分析的框架来定义张量。以$\text{Fock-Sobolev}$空间$\mathcal{F}^{2,m}(\mathbb{C}^n)$为例，尽管这个函数空间的定义和性质极其复杂，且是无穷维空间，但这个空间对每一个多重指标指定了一个归一化$\text{Hermite}$函数作为基，并且空间上配备内积。这样我们就不难定义$\text{Fock-Sobolev}$空间上的$m$阶张量积空间$(\mathcal{F}^{2,m}(\mathbb{C}^n))^{\otimes m}$，该空间中的元素称为$\text{Fock-Sobolev}$空间上的$m$阶张量。

而对于光滑流形来说，一般情况下全局标架场是不存在的。我们只能定义局部标架场（见我的流形专栏），这就使得我们在全局上无法定义“正交基”，经典张量分析自然就不适用了。这个时候我们就需要用$\text{Ricci}$微积分来分析了。$\text{Ricci}$微积分的特点是，张量分协变张量和逆变张量，并且它们同属于不同的张量积空间。

$$\large{1.2 \quad 线性空间与对偶空间}$$

先容许我们简单概述一些线性代数以及泛函分析知识。

众所周知，在高等代数中我们所定义的向量并非是有方向有大小的对象，而是更抽象地定义为线性空间的元素。对这一点我们不再赘述，想了解具体情况的请自行去翻阅线性代数，我们仅复习一下线性空间的定义。

假设$\mathbb{K}$是一个（数）域，$1$是其乘法单位元，$V$是一个集合。若$V$上定义了加法和数乘，且对这两种运算封闭，那么$V$被称为一个$\mathbb{K}\text{-}$线性空间（$\text{linear space}$），当且仅当对$\forall v,w,t\in V$以及$\forall\lambda,\sigma\in\mathbb{K}$，其满足以下八条性质：

$$(1)\quad v+w=w+v,$$

$$(2)\quad (v+w)+t=v+(w+t),$$

$$(3)\quad \exists 0,v+0=v,$$

$$(4)\quad \exists v^{-1},v+v^{-1}=0,$$

$$(5)\quad 1v=v,$$

$$(6)\quad \lambda(v+w)=\lambda v+\lambda w,$$

$$(7)\quad (\lambda+\sigma)v=\lambda v+\sigma v,$$

$$(8)\quad \lambda(\sigma v)=(\lambda\sigma)v.$$

线性空间中的元素称为向量（$\text{vector}$）。由简单的线性代数知识，我们知道一个$n$维线性空间$V$上的任意一组（$n$个）线性无关的向量被称为$V$的一组基（$\text{basis}$），该空间中任意一个向量都可以表示成基的线性组合。用数学的语言说，设$\mathcal{B}=\{e_\mu\}$是$n$维线性空间$V$的一组基，那么任意$v\in V$均可以表示为

$$v=\sum_{\mu=1}^n v^\mu e_\mu.$$

这里$v^\mu$中$\mu$不是幂，而是逆变指标（$\text{contravariant index}$）。什么是逆变指标则是我们讨论变换时才需要研究的东西。现在我们只需要知道它是指标就行了。

$v^\mu$称为$v$在基$\mathcal{B}$下的分量（$\text{component}$）。

在$\text{Ricci}$微积分中，我们将$V$中的元素$v$特称逆变向量（$\text{contravariant vector}$），基$\{e_\mu\}$特称协变基（$\text{covariant basis}$）。

另一方面，我们定义$\mathbb{K}\text{-}$线性空间$V$上的一个线性泛函（$\text{functional}$）$f$是指一个函数

$$f:V\to \mathbb{K}.$$

且其满足线性性质。即对于$\forall v,w\in V$和$\forall\lambda\in\mathbb{K}$：

$$f(v+w)=f(v)+f(w),$$

$$f(\lambda v)=\lambda f(v).$$

易证$V$上的全体线性泛函也构成一个线性空间，称为$V$的对偶空间（$\text{dual space}$），记作$V^*$或$\mathscr{L}(V)$。可以看出，

$$(1)\quad V^*=\text{Hom}(V,\mathbb{K}),$$

$$(2)\quad V^{**}\cong V,$$

$$(3)\quad \text{dim}(V)=\text{dim}(V^*).$$

而对于$V$中的一组泛函$\mathcal{B}=\{e_\mu\}$，我们在$V$中选取一组基$\mathcal{B}^*=\{\epsilon^\mu\}$，其被称为基$\mathcal{B}=\{e_\mu\}$的对偶基（$\text{dual basis}$），当且仅当对任意$\mu,\nu$，

$$\epsilon^\mu(e_\nu)=\delta^\mu_\nu,$$

其中$\delta^\mu_\nu$是$\text{Kronecker delta}$符号（$\text{Kronecker delta symbol}$，简称$\text{Kronecker}$符号，是最简单的张量），其在$\mu=\nu$时取值为$1$，$\mu\neq\nu$时取值为$0$。

我们考虑一个$v\in V$。那么

$$\epsilon^{\mu}(v)=\epsilon^{\mu}\left(\sum_{\nu=1}^nv^\nu e_\nu\right)$$

$$=\sum_{\nu=1}^nv^\nu\epsilon^{\mu}(e_\nu)$$

$$=\sum_{\nu=1}^n\delta^\mu_\nu v^\nu=v^\mu.$$

最后一个等式运用了指标替换规则。这个我们将在求和约定部分谈到。

接下来考虑一个$f\in V^*$。那么

$$f(v)=f\left(\sum_{\mu=1}^nv^\mu e_\mu\right)$$

$$=f\left(\sum_{\mu=1}^n\epsilon^\mu(v)e_\mu\right)$$

$$=\sum_{\mu=1}^n f(e_\mu)\epsilon^\mu(v),$$

于是我们发现

$$f(\cdot)=\sum_{\mu=1}^n f(e_\mu)\epsilon^\mu(\cdot).$$

这说明$f$也有像向量一样的可分解性质。我们定义

$$f(e_\mu)=f_\mu,\quad \epsilon^\mu(\cdot)=\epsilon^\mu,$$

那么就有

$$f=\sum_{\mu=1}^n f_\mu\epsilon^\mu.$$

这说明，对偶基$\mathcal{B}^*=\{\epsilon^\mu\}$是对偶空间$V^*$的一组基。对偶空间也是线性空间，自然对偶基也是互相线性无关的。

在$\text{Ricci}$微积分中，我们把$V^*$中的元素$f$称之为协变向量（$\text{covariant vector}$），对偶基$\epsilon^\mu$又称逆变基（$\text{contravariant basis}$），$f_\mu$称协变向量$f$的分量。

$$\large{1.3\quad 张量积}$$

在本节中我们将正式构造张量。

先简要复习双线性型理论。设$V,W$是两个$\mathbb{K}\text{-}$线性空间，$U$是一个$\mathbb{F}\text{-}$线性空间，一个$V\times W$到$U$的双线性型（$\text{bilinear form}$）$\mathscr{B}$是$V\times W$上的一个满足双线性性（$\text{bilinearity}$）的函数

$$\mathscr{B}:V\times W\to U.$$

而双线性性指对于两个变量都具有线性性质，即$\forall x,m\in V$，$y,n\in W$以及$\lambda\in\mathbb{K}$，

$$(1)\quad \lambda\mathscr{B}(x,y)=\mathscr{B}(\lambda x,y)=\mathscr{B}(x,\lambda y),$$

$$(2)\quad \mathscr{B}(x+m,y+n)=\mathscr{B}(x,y)+\mathscr{B}(x,n)+\mathscr{B}(m,y)+\mathscr{B}(m,n).$$

张量积（$\text{tensor product}$）是一个最简单的双线性型，除了双线性性，还满足分配律，记作$\otimes$。协变向量和协变向量，逆变向量和协变向量，逆变向量和逆变向量都可以进行张量积。以$v\in V$和$f\in V^*$的张量积为例，

$$\otimes:(v,f)\mapsto v\otimes f.$$

张量积本身不具有任何物理意义，它只代表一种最简单的双线性运算。非要说它有什么意义的话，我认为它可能表示“互不干涉的组合”，即把协变向量和逆变向量互不干涉的组合在一起形成新的数学对象。

张量积的两个变量中，如果有一个为零元，则张量积所得定义为零元，由此易证，全体$v\otimes f$张成一个线性空间$\text{span}(\{ v\otimes f\mid v\in V,f\in V^*\})$。这个空间是$(1,1)$张量积空间（$\text{tensor product space}$），其阶（$\text{level}$）为二，记作$V\otimes V^*$或$\mathcal{T}^1_1(V)$。同理，我们可以构造$(2,0)$张量积空间$V^{\otimes 2}=V\otimes V$，$(0,2)$张量积空间$(V^*)^{\otimes 2}=V^*\otimes V^*$，以及另一个$(1,1)$张量积空间$V^*\otimes V$。因为张量积是不具有交换性的，所以$V^*\otimes V\neq V\otimes V^*$。然而

$$V\otimes V^*\cong V^*\otimes V,$$

因此我们在$\text{Ricci}$微积分中将他们视为同一，不然会使我们的符号体系极为混乱。

张量积所得的对象都可以继续进行张量积。比如$V\otimes V^*$可以进一步和$V^*$张量积：

$$\otimes: (v\otimes f,g)\mapsto (v\otimes f)\otimes g=v\otimes f\otimes g.$$

上面这个东西全体张成的空间是$(1,2)$张量积空间，且是三阶的，记作$\mathcal{T}^1_2(V)$。易证这也是一个线性空间。

以此类推。由$p$个线性空间$V$和$q$个该线性空间的对偶空间$V^*$张量积构成的线性空间称为$(p,q)$张量积空间，阶数为$p$与$q$的和，记作$V^{\otimes p}\otimes (V^*)^{\otimes q}$或$\mathcal{T}^p_q(V)$。

$(p,q)$张量积空间中的元素就是所谓的$(p,q)$张量（$\text{tensor}$）。也就是说任意一个张量$T\in\mathcal{T}^p_q(V)$可以表示为一系列$\{v_{i,\gamma}\}\subset V$和一系列$\{f_{j,\gamma}\}\subset V^*$之张量积的线性组合：

$$T=\sum_{\gamma=1}^r C_\gamma \left(\bigotimes_{i=1}^p v_{i,\gamma}\right)\otimes\left(\bigotimes_{j=1}^q f_{j,\gamma}\right)$$

$r$称为张量的秩（$\text{rank}$）。

特别定义$\mathcal{T}_0^0(V)=\mathbb{K}$，$\mathcal{T}_0^1(V)=V$，$\mathcal{T}_1^0(V)=V^*$。

任意$V$上的张量与$V$所在域$\mathbb{K}$上的元素张量积等价于数乘运算。即$\forall k\in \mathbb{K}$和$\forall T\in \mathcal{T}^p_q(V)$，

$$k\otimes T=kT.$$

张量是否具有类似逆变向量和协变向量的分解性质呢？我们尝试进行推导。对$\forall T\in\mathcal{T}^p_q(V)$，根据前文所得以及张量积的双线性性以及分配律，

$$T=\sum_\gamma C_\gamma \left(\bigotimes_i v_{i,\gamma}\right)\otimes\left(\bigotimes_j f_{j,\gamma}\right)$$

$$=\sum_\gamma C_\gamma \left[\left(\bigotimes_i \sum_{\mu_i} (v_{i,\gamma})^{\mu_i}e_{\mu_i} \right)\otimes\left(\bigotimes_j \sum_{\nu_j} (f_{j,\gamma})_{\nu_j}\epsilon^{\nu_j} \right)\right]$$

$$=\sum_\gamma C_\gamma \sum_{\mu_1,…,\mu_p} \left(\prod_i (v_{i,\gamma})^{\mu_i}\right) \left(\bigotimes_i e_{\mu_i} \right)\otimes\sum_{\nu_1,…,\nu_q} \left(\prod_j (f_{j,\gamma})_{\nu_j}\right) \left(\bigotimes_j \epsilon^{\nu_j} \right)$$

$$=\sum_{\mu_1,…,\mu_p}\sum_{\nu_1,…,\nu_q}\left[\sum_\gamma C_\gamma \left(\prod_i (v_{i,\gamma})^{\mu_i}\right)\left(\prod_j (f_{j,\gamma})_{\nu_j}\right)\right]\left(\bigotimes_i e_{\mu_i} \right)\otimes \left(\bigotimes_j \epsilon^{\nu_j} \right)$$

于是发现张量似乎也可以进行分解。

进一步，我们定义张量的分量

$$T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}=\sum_{\gamma=1}^r C_\gamma \left(\prod_{i=1}^p (v_{i,\gamma})^{\mu_i}\right)\left(\prod_{j=1}^q (f_{j,\gamma})_{\nu_j}\right)$$

根据指标缩并规则（在本课第四部分）检验，该式是正确的。

那么上式变为

$$T=\sum_{\mu_1,…,\mu_p}\sum_{\nu_1,…,\nu_q}T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}\left(\bigotimes_i e_{\mu_i} \right)\otimes \left(\bigotimes_j \epsilon^{\nu_j} \right)$$

这意味着张量可以在协变基和逆变基通过张量积构成的对象下分解。

也就是说，基

$$\mathcal{B}^p_q=\left\{\left(\bigotimes_{i=1}^p e_{\mu_i} \right)\otimes \left(\bigotimes_{j=1}^q \epsilon^{\nu_j} \right)\right\}$$

是张量积空间$V^{\otimes p}\otimes(V^*)^{\otimes q}$的基。换句话说，满足分解式

$$T=\sum_{\mu_1,…,\mu_q}\sum_{\nu_1,…,\nu_q}T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}\left(\bigotimes_i e_{\mu_i} \right)\otimes \left(\bigotimes_j \epsilon^{\nu_j} \right)$$

的数学对象都是张量。这就是张量的一种定义方法。

关于张量的构造，我们就说到这里。

$$\large{1.4 \quad \text{ESN}与指标书写规则}$$

从前文张量分解的推导中我们看出，如果按照标准记法来书写张量分析中的公式，公式会变得冗长且复杂。因此，张量分析中有独特的指标记法。这套记法不仅在张量分析中十分常用，在整个分析学中也有深远影响。

这套指标记法，我们称之为$\text{Einstein}$求和约定（$\text{Einstein summation notation}$，简称$\text{ESN}$）。$\text{ESN}$的表述如下：

$(1)\quad $指标分为自由指标和哑指标。如果一个指标在同一项中，以一个上标和一个下标的形式出现两次，则对该指标遍历其取值范围求和，并且称这个指标为哑指标。例如

$$\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}(\partial_\nu g_{\mu\sigma}+\partial_\mu g_{\nu\sigma}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$$

在此式中，$\sigma$在$\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}\partial_\nu g_{\mu\sigma}$，$\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}\partial_\mu g_{\nu\sigma}$，$-\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}\partial_\sigma g_{\mu\nu}$中均出现两次，且均是以一次上标，一次下标的形式出现，因此在这三项中$\sigma$都是哑指标。所以上式等价于

$$\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2}\sum_\sigma g^{\sigma\lambda}(\partial_\nu g_{\mu\sigma}+\partial_\mu g_{\nu\sigma}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$$

这样求和就被我们巧妙的隐藏起来，且不会引起误解。

$(2)\quad $不求和的指标是自由指标。比如在上式中，$\mu$，$\nu$，$\lambda$都是自由指标。

$(3)\quad $为避免引起误解，在一个公式中，同一指标不能同时做自由指标和哑指标。

$(4)\quad $指标只要不是出现两次，都不求和。比如$\Gamma_{\mu\mu}^\mu$的写法不对$\mu$求和。此时如果想求和，必须写出求和号，即写为$\sum_\mu \Gamma^\mu_{\mu\mu}$。

指标规则则分为指标缩并和指标替换。指标替换规则指出，对于任意一个带有指标的量$\Phi^{…}_{…\mu…}$或$\Phi^{…\mu…}_{…}$，

$$\Phi_{…\mu…}^{…}\delta_\nu^\mu=\Phi_{…\nu…}^{…},\quad \Phi^{…\mu…}_{…}\delta_\mu^\nu=\Phi^{…\nu…}_{…}$$

此规则是易于验证的。有必要指出的是

$$\delta^{\mu\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}=\delta^{\nu}_{\mu}=\delta_{\mu\nu}$$

此外，我们还有指标缩并规则。指标缩并规则事实上是说，自由指标一定同时出现在等式的两侧，哑指标（事实上，不只是哑指标，一切被求和的指标）一定不出现在等式的另一侧。这个规则可以检验张量方程是否书写正确。仍然以上式为例，

$$\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2} g^{\sigma\lambda}(\partial_\nu g_{\mu\sigma}+\partial_\mu g_{\nu\sigma}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$$

这里哑指标$\sigma$就没有出现在等式的另一侧，而自由指标$\mu$，$\nu$，$\lambda$都出现了等式的两侧，所以从指标上看，该等式是没有问题的。

可以看出，指标在张量分析中的地位类似于量纲在物理学中的地位。

我们还可以用指标缩并规则审视我们之前写过的张量分量。

$$T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}=\sum_{\gamma=1}^r C_\gamma \left(\prod_{i=1}^p (v_{i,\gamma})^{\mu_i}\right)\left(\prod_{j=1}^q (f_{j,\gamma})_{\nu_j}\right)$$

注意这里对$\gamma$不能使用$\text{ESN}$，因为它并没有成上标出现。但是它被求和了，所以$\gamma$并没有出现在等式左边。然而，$\mu_1,…,\mu_p$以及$\nu_1,…,\nu_q$都是自由指标，因此都出现在了等式的右边。所以这个等式是没有问题的。

使用$\text{ESN}$，$(p,q)$张量的定义就可以写作：

$$T=T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}\left(\bigotimes_i e_{\mu_i} \right)\otimes \left(\bigotimes_j \epsilon^{\nu_j} \right)=T_{\nu_1,\nu_2,\nu_3,…,\nu_q}^{\mu_1,\mu_2,\mu_3…\mu_p}e_{\mu_1}\otimes…\otimes e_{\mu_p}\otimes \epsilon^{\nu_1}\otimes…\otimes \epsilon^{\nu_q}$$

易证这个等式也是正确的。